Tip:
Highlight text to annotate it
X
MATT PARKER: 0 is een
heel goed cijfer.
Dat kun je negeren,
maar op eigen risico.
Het is namelijk een
heel gevaarlijk cijfer.
Een heleboel dingen kunnen
enorm misgaan bij 0.
Omdat het een klein beetje ongewoon,
maar subtiel cijfer is
moet je wat voorzichtig zijn
als je er mee werkt.
En daardoor zijn er een paar
dingen die je er niet me kunt.
Je kunt bijvoorbeeld
niet delen door 0.
En je kunt niet spreken
over 0 tot de macht 0.
Ik krijg hier heel vaak vragen over.
Men vraagt me steeds,
waarom kan ik niet door 0 delen?
Ik wil door 0 delen!
Wordt dat niet gewoon oneindig?
Blah, blah, blah.
Dus ik ga nu twee dingen doen.
Ten eerste laat ik je
zien waarom je niet
door 0 kunt delen.
Het is niet gewoon oneindig.
Het ligt iets ingewikkelder.
Ten tweede laat ik je iets zien over
0 tot de macht 0.
JAMES GRIME: OK, dit is iets waar we bij
Numberphile veel vragen over kregen.
Je weet vast wel dat vermenigvuldigen
eigenlijk herhaaldelijk optellen is.
Zullen we 5 keer 10 als voorbeeld nemen?
Je doet 5 plus 5
plus 5 plus 5 10 keer.
Delen is eigenlijk herhaaldelijk
aftrekken.
Dus als ik bijvoorbeeld 20 door
4 deel, haal ik er steeds 4 af.
Dus min 4, min 4, min 4
En dat 5 keer.
Daar is je antwoord, 5.
20 dgedeeld door 4 is 5.
Het is dus herhaald aftrekken.
Meer is het niet.
Dus delen door 0 is er 0 vanaf halen
en dat alsmaar herhalen.
Dus 20 gedeeld door nul;
min 0
Ik heb 20 20.
En dan weer 0 eraf.
Nog steeds 20.
En dan 0 eraf en 0 eraf.
Dat gaat maar door zo.
Dit schiet zo niet op,
door er steeds 0 vanaf te halen.
Dus 20 gedeeld door 0?
Dat is dan toch oneindig?
Natuurlijk--
natuurlijk is het oneindig.
Dat verwacht ik ook dat men denkt.
Alleen een 'nerd' zal
je iets anders vertellen.
Daarvoor hebben we Matt.
MATT PARKER: Iedereen vraagt altijd
waarom kan je niet door 0 delen?
Ik zal even een grafiek maken.
de grafiek van 1/x.
JAMES GRIME: We zeggen nooit dat iets
gelijk is aan
oneindig, OK?
Oneindig is geen getal.
En kan ook niet zo behandeld worden.
Het is een begrip.
Daarom kun je niet zeggen dat
1 gedeeld door 0 gelijk is aan oneindig.
Je kunt net zo goed zeggen dat
1 gedeeld door 0
gelijk is aan blauw.
Als ik toch zeg dat 1 gedeeld
door 0 gelijk is
aan oneindig, dan geldt ook
dat 2 gedeeld door 0
gelijk is aan oneindig.
En dan kom je in de problemen.
Want 2 is dan gelijk aan 2.
En we weten dat dat onzin is.
En dat is een goede reden
dat we niet zeggen dat
het gelijk is aan oneindig.
Om onzin als 1 is gelijk aan
2 te voorkomen.
MATT PARKER: Maar als we het
nu als limiet beschouwen?
Wat als je de limiet neemt als
x heel dicht naar 0 nadert?
Kom je dan niet op oneindig?
Zo kun je zien dat dit
tot de onclusie leidt dat 1 gedeeld door
0 gelijk is aan oneindig.
Ik ga je nu laten zien waar
dat fout gaat.
Als dit je getallenlijn is.
Dit is je getallenlijn.
Dan plaats ik 0 hier.
0 is precies in het midden.
En dit is dan 1 en zo door omhoog.
Als je doorgaat en vanuit
deze as omhoog.
Dan ligt 1/x hier.
Daar ligt 1/x.
En bij waarde 1 wordt dat dus 1.
En terug naar 1/2 dan wordt de waarde
een beetje groter.
Het wordt twee keer zo groot.
En als je dan bij 1/4 komt,
wordt het nog 2 keer groter.
En hoe dichter je bij 0 komt,--
hoe groter het wordt.
Het slaat bijna op hol.
Het gaat zo te zien naar oneindig.
Dat is helemaal waar.
Maar het werkt alleen als ik 0
benader vanuit de positieve
getallen, als je 0 benaderd
vanaf de rechterkant
van je getallenlijn.
Als je van links komt
wordt het heel anders.
Begin je bij min 1, dan ligt je uitkomst
hier beneden bij waarde 1.
en dan krijg je bij -1/2
-2.
En hoe dichter je bij 0 komt,
hoe sneller de waarde
deze kant op gaat.
Het vliegt naar min oneindig.
Dus als je vanaf 1 kant komt
dan krijg je oneindig.
Maar kom je vanaf een
andere kant,
dan krijg je op dezelfde plek,
een groter verschil is er niet,
dan krijg je min oneindig.
Dan heb je altijd mensen die zeggen
dat is hetzelfde, blah, blah.
Misschien gaat deze lijn wel
helemaal om de wereld
of het universum en komt
dan weer hier uit.
Maar voor mij is het simpel,
als je van 1 kant komt
krijg je het ene antwoord.
Kom je van de andere kant,
dan krijg je een ander antwoord.
Je gaat naar dezelfde plek.
Maar er is geen eenduidige limiet
voor delen door0.
Er zijn meer dan 1 antwoorden
die volledig anders zijn.
En daarom zeggen we dat het
ongedefinieerd is.
Wiskundig gezien zouden we zeggen--
Ik wil nu een blauwe, sorry.
De limiet van 1/x als je 0
nadert vanaf de positieve
kant is gelijk aan plus oneindig.
En dan hier als je 0 nadert vanuit
de negatieve kant 1/x is gelijk aan
min oneindig.
En dat is verschillend.
De uitkomsten zijn ongelijk.
Je kunt dus niet eenvoudig zeggen
dat 1 gedeeld door 0 oneindig is.
JAMES GRIME: Als je naar 0
gaat vanaf deze kant
krijg je plus oneindig.
En als je naar 0 gaat vanaf deze kant
krijg je min oneindig--
twee verschillende antwoorden.
BRADY HARAN: Als ik 1 gedeeld
door 0 in mijn rekenmachine typ
op op de computer,
dan kan die er niets mee.
Hij snapt het niet.
Wat probeert hij dan?
Wat kan hij dan niet?
Wat gebeurd er in de circuits?
Wat probeerde hij tergeefs?
Of heeft iemand hem dat verteld?
MATT PARKER: Oh, dat is wel
een goede vraag.
Hij probeert iets
maar krijgt er geen antwoord door?
Of is het hem gewoon verteld?
Ik weet het echt niet.
Ik denk dat het hem verteld is,
als iemand gedeeld door 0
in typt, zeg dan error.
Of isschien probeert hij
wel het antwoord te
krijgen door een iteratief proces
dat dan explodeert of zo.
En heeft het een soort
van grens of een
beveiliging die zegt
dat deze berekening
helemaal nergens naar toe gaat.
Stop hier dus maar.
Geef maar aan dat er een error os.
Misschien verschilt het
wel per apparaat.
Maar het moet een van de twee zijn.
Het andere wat mensen
veel vragen is over
0 tot de macht 0.
De reden dat ze dit
dwars zit is omdat
als je een willekeurig getal
tot de macht 0 neemt
je altijd 1 krijgt.
Maar bij 0 tot de macht 0
krijg je altijd 0.
Dus hoe zit dit nu?
Mensen beredeneren altijd naar
wat ze nodig hebben.
De meeste mensen zeggen dat 0
tot de macht 0 gelijk is aan 1
Hoewel in mijn video die ik
maakte over 345
beweerden de meeste reaguurders dat
0 tot de macht 0, 0 zou moeten
zijn, wat net zo belachelijk is.
Ik zal je laten zien waarom dit zo is.
Dit is heel mooi, want als
je je getallenlijn hier start
je getallenlijn komt hier--
dit is een gewone getallenlijn.
met 0 in het midden.
Nu kijken we naar de limiet
als x nadert naar 0.
Deze keer is de functie x
tot de macht x toch?
We naderen naar 0.
We moeten het van
beide kanten doen.
We beginnen vanaf
de positieve kant.
We naderen de limiet als x
0 benadert, van de negatieve
kant voor x tot de macht x.
Eens zien wat we krijgen.
En als ze verschillen gaat het dus
heel erg mis.
Dus ik teken mijn y-as hier.
En nu teken ik x tot de macht x.
En hoe dichter je 0 nadert--
Om eerlijk te zijn maakt het
niet veel uit hoe naukeurig.
Maar wat er gebeurd vanaf
de ene kant is
dat je 1 nadert.
En vanaf de andere kant
nader je 1.
Dus ze geven allebei het
zelfde antwoord.
Beide geven je 1.
Dus als het niet uitmaakt
vanaf welke kant je komt
of je nu vanaf deze kant komt
of je komt vanaf deze kant
in beide gevallen is de limiet 1
Dus we kunnen zeggen dat het 1 is.
Maar dit is alleen waar
voor reele getallen.
De reele getallen dus.
Ik ga er niet te ver op in.
Maar de reele getallenlijn is saai
Het is maar 1 dimentionaal.
Je kunt alleen maar heen en weer.
Maar er zijn ook complexe getallen.
Daarvoor moet je imaginair
gaan rekenen.
Dus ik voeg de imaginaire as toe.
En nu krijg je dit hele
oppervlak van getallen.
De reele in de ene richting,
de imaginaire in de andere richting.
Elk punt ligt in het complexe vlak.
En nu zijn er veel meer manieren.
om naar 0 te gaan.
Je kunt overal in het complexe
vlak beginnen.
En dan krijg je andere limieten.
Niet meer per se 1.
Het gaat fout in het complexe vlak.
En daarom, zelfs al lijkt het
dat je naar 1 gaat, gaat het mis
als je complexe getallen gaat gebruiken.
Daarom worden wiskundigen emotioneel
als je zegt dat 0 tot de macht 0
een waarde heeft.
Het is ongedefinieerd, omdat je
verschillende waardes kunt krijgen.
JAMES GRIME: En wat bij
x gedeeld door y?
Ik zal het tekenen--
hier is x en hier is y.
Ik ga uit van x gedeeld door y--
BRADY HARAN: Draai je papier een beetje?
JAMES GRIME: x gedeeld door y gaat
goed, behalve hier.
Dit is de oorsprong.
Het punt (0,0).
x is 0 en y is 0.
Dus in dat punt hebben we
0 gedeeld door 0.
En dat is geen goed nieuws.
Wat is dat?
Is het 0?
Is het oneindig?
Wat is het?
Om eerlijk te zijn kun je
ieder antwoord krijgen.
Afhankelijk van de hoek
waaronder je aankomt.
Ik laat het je zien.
Deze lijn is x gelijk aan y.
Deze lijn.
Als ik daarlangs ga
deze hier x/y--
Waarom zei ik dat?
x is gelijk aan y.
Dus eigenlijk x gedeeld door x.
Dus dat is 1.
Alles op deze lijn is 1.
Dus het gaat goed als
ik deze lijn volg.
Dan wil ik best zeggen dat het 1 wordt.
Omdat alles dat is.
Dus vind ik dat goed.
We noemen dit een
verwijderbare singulatiteit.
Dat is de naam.
Nu ga ik langs de lijn y
is gelijk aan min x.
Als ik dat doe.
en je deelt x door y.
y is gelijk aan min x.
dan krijg je min 1.
Alles op die lijn is min 1.
Laten we het proberen.
Ik ga langs
de x-as--
Of wel y is gelijk aan 0.
Dat is de x-as.
Dus y is 0.
Als je dan x gedeeld door y doet.
Ik zei dat y gelijk 0 is.
Hier is x gedeeld door y.
Oh jee.
We weten dat dat een probleem is.
Maar laat ik ondeugend zijn.
Het gaat naar oneindig--
plus oneindig, min oneindig.
Het wordt zoiets.
Als ik langs de y as ga, waar x
gelijk is aan 0.
dan krijg je dit.
Het wordt 0.
x is gelijk aan 0.
deel het door y.
Dat is 0 gedeeld door 1.
Alles op die lijn is 0.
Dat gaat overal op, behalve
indit punt.
Haal het weg en noem het nul.
Het antwoord hangt dus van de hoek af.
Je kunt ieder getal maken zo.
Ik maakte plus 1, min 1,
0 en oneindig.
Afhankelijk van de hoek
kun je alles maken.
Daarom is 0 gedeeld door 0
ongedefinieerd.
We kunnen het alles maken
afhankelijk van de hoek die we hebben.
[STEMMEN]
MATT PARKER: Het heeft te maken
met de hoek van de lucifer
die bepaald of--