Tip:
Highlight text to annotate it
X
JAMES GRIME: Vandaag wil ik jullie vertellen
dat bijna alle gehele getallen het cijfer 3 bevatten.
Het gaat hier dus om gehele getallen.
Ik beweer dat bijna alle gehele getallen
het cijfer 3 bevatten.
Dat klinkt vreemd, niet?
Nou, ik kan oneinding veel getallen bedenken
die een 3 bevatten.
Bijvoorbeeld 3, 33, 333, 3.333, enzovoort.
Ik kan ook oneindig veel getallen bedenken
die het cijfer 3 niet bevatten.
7, 77, 777, en 7.777, enzovoort.
Hoe kan het dan zijn dat bijna alle gehelen het cijfer 3 bevatten?
23 bevat het cijfer 3.
310 bevat het cijfer 3.
9.002.023.
Laten eerst eens kijken naar de getallen kleiner dan 10.
Hoeveel getallen kleiner dan 10 bevatten het cijfer 3?
Dat is alleen 3, niet waar?
Ja, dat is er maar één.
Oké.
Dus van die getallen alleen het getal 3 zelf.
Wat is dan de verhouding?
Welnu, dat is één op tien.
Ofwel 1/10.
Dat is 0,1.
Of 10%.
Wat is de volgende stap?
Laten we kijken naar de getallen kleiner dan 100.
We hebben 3.
We hebben 13, 23, 43, 53, 63, 73, 83, 93.
Je hebt misschien gemerkt dat ik de dertigers overgeslagen heb.
Dus we hebben ook nog 30, 31, 32, 33, 34, 35...
In totaal hebben we er dus 19.
19 op de 100, dat is 0,19.
Het is 19%, wat ik zeg.
Het percentage is dus groter geworden.
Laten we kijken naar de getallen kleiner dan 1000.
We hebben natuurlijk die 19 getallen die we net ook al hadden, niet waar?
Maar we hebben al die getallen nog een keer,
maar dan met een 1 ervoor.
Bijvoorbeeld 103 en 113 en daarna krijgen we 200-zoveel.
We hebben ook 400-zoveel, en 500, 600, 700, 800, 900.
En we kunnen alle getallen in de 300-serie meerekenen,
die heb ik net overgeslagen.
Alle getallen vanaf 300, 301, 302, 303, toch?
Het totaal aantal getallen is 271.
Wat is hier het percentage?
Het is ongeveer 0,271...
27%.
Het wordt nog groter.
Heb je gezien welk systeem we hebben toegepast
voor die laatste?
Ik stelde voor om een 1 voor alle eerdere getallen te denken.
Hetzelfde deden we voor de 2 voorop,
en dan nog de getallen uit de 300-serie.
Dit kunnen we veralgemeniseren.
De getallen die het cijfer 3 bevatten... Laten we ze T noemen.
Laten we deze 10 noemen.
Kleiner dan 10 tot de macht n.
Dus dit zijn de getallen die het cijfer 3 bevatten
en kleiner zijn dan 10 tot de macht n.
Als je de volgende wilt vinden...
Dat zal 10.000 zijn.
Dan neem je het vorige aantal getallen, vermenigvuldig je
dat met 9, en tel je er nog 10 tot de macht n bij.
En zo kun je het volgende aantal vinden.
Dat kun je doen.
En dan vind je de volgende die we zoeken.
We hebben hier dus een kleine formule.
Laten we het doen.
Oké, ik ga mijn rekenmachine gebruiken.
Dus 9 maal 271, plus 1.000.
En dan krijg ik 3.439.
Wat is de verhouding?
Dat is ongeveer 0,3439.
Het gaat telkens omhoog... Ongeveer 34% al.
Het wordt steeds groter.
En er is een hele elegante manier om uit te rekenen hoeveel getallen
het cijfer 3 bevatten.
Stel je voor dat ik mijn getallen zo mocht schrijven,
met nullen.
Dus dit zou nul zijn, maar met al deze nullen hier.
Dit is een viercijferig getal.
Hier heb je er nog een, en hier nog een ander.
Hoeveel verschillende viercijferige getallen zijn er?
Dat zijn er precies 10 tot de macht 4.
10 keuzes hier, 10 keuzes hier, 10 keuzes, 10 keuzes.
Hoeveel daarvan bevatten geen 3?
Als ik het cijfer 3 niet mag gebruiken, dan heb ik maar
9 keuzes voor deze positie, 9 keuzes voor deze positie,
9 keuzes voor deze positie, 9 keuzes voor deze positie.
Dus dat zou 9 tot de macht 4 zijn.
Als je uit wilt zoeken hoeveel gehele getallen
het cijfer 3 bevatten, is dat 10 tot de macht n minus 9 tot de macht n.
Zie je, dat zijn al mijn n-cijferige getallen min de getallen
die geen 3 bevatten.
De verhouding is dan dit ding gedeeld door
dit ding...
Gewoon 10 tot de macht n.
Dat is dus dit.
En hoe groot is die verhouding?
10 tot de macht n gedeeld door 10 tot de macht n is 1,
min 9 tot de macht n gedeeld door 10 tot de macht n.
Dat kunnen we ook zo schrijven...
9/10 tot de macht n.
Dat is de verhouding van getallen die een 3 bevatten op het totaal.
En wat gebeurt er?
Als dit heel erg groot wordt, dan wordt deze breuk
steeds kleiner en kleiner.
En het zal richting de 1 gaan.
Dit gedeelte zal verdwijnen.
We hoeven het er niet eens meer over te hebben.
En dat is 1.
Dus het neigt naar 1...
We zeggen, als n groot wordt.
Dus dan komt dit steeds dichter en dichter bij 1 min 0.
Als dit dichter bij 0 komt, als n groter wordt,
komt dit dichter en dichter bij 1 min 0.
Dus dit hele ding gaat richting de 100%.
100% van alle gehele getallen bevat het cijfer 3.
En dit is de officiële, technische definitie van
toen ik zei dat bijna alle getallen het cijfer 3 bevatten.
"Bijna alle" klinkt als een vage uitdrukking,
maar in de wiskunde heeft het een precieze betekenis.
Het betekent dat de verhouding richting de 100% gaat,
als je meer en meer getallen bekijkt.
BRADY HARAN: Is het dan net zo goed waar om te zeggen
dat bijna alle getallen het cijfer 5 bevatten?
JAMES GRIME: Dat is net zo waar.
En je kunt precies dezelfde redenering volgen om te bewijzen
dat bijna alle getallen het cijfer 5 bevatten.
Waarom koos James dan voor 3 in deze video? ...
Waarom koos James dan voor 3 in deze video? Hij vindt dat het gewoon leuker klinkt!