Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
Een kaartspel met 36 verschillende kaarten, vier kleuren
schoppen, ruiten, harten en klaver
met kaarten genummerd 1 tot en met 9 van elke kleur.
Een 'hand' wordt gekozen,
een 'hand' is een set van 9 kaarten, uitgezocht door de speler
geordend zoals de speler het wil.
geordend zoals de speler het wil.
Hoeveel verschillede 'hands' van 9 kaarten zijn mogelijk?
Laat ons hierover nadenken
Er zijn 36 verschillende kaarten - makkelijk na te rekenen:
er zijn 9 kaarten per kleur en er zijn 4 kleuren
dus 4 maal 9 is 36.
We gaan ze nu nummer 1 tot en met 36,
en we kiezen er daar 9 van.
We hebben 9 plekken voor een kaart
in de 'hand'.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Mee eens?
Ik ga 9 kaarten uitkiezen voor mijn 'hand'.
Voor de eerste kaart: uit hoeveel verschillende kaarten
kan ik kiezen?
Er zijn 36 verschillende kaarten, dus voor de eerste plek
zijn er 36 mogelijkheden
Die gekozen kaart is nu in mijn 'hand'.
Voor de tweede plek: hoeveel kaarten
kan ik nog kiezen?
Ik heb er al één uitgezocht, dus er zijn nog
35 kaarten om uit te kiezen
Voor de derde plek 34, enzovoort
gaat het zo door
Nog 33 om uit te kiezen, 32, 31, 30, 29 en 28.
Dus kun je zeggen dat er 36 maal 35, maal 34,
maal 33, maal 32, maal 31, maal 30, maal 29, maal 28
mogelijke 'hands'.
Dit is het antwoord als de volgorde ertoe deed
Dit is waar als ik hier kaartnummer 15 had,
Laat ik het invullen -- misschien heb ik hier een schoppen 9,
en dan nog een boel kaarten
samen is dat één 'hand'.
Dan een andere kaart.
En dan nog één, twee, drie, vier,
vijf, zes, zeven, acht.
Nog acht andere kaarten.
Of, als ik een andere 'hand' met eerst die acht kaarten, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
en dan pas de schoppen 9.
Als we deze twee 'hands' als twee verschillende zien
met precies dezelfde kaarten maar in een andere volgorde
dan is wat ik net uitrekende heel logisch,
want we gingen uit van volgorde.
Maar in de opgave staat dat de kaarten gesorteerd kunnen worden
hoe de speler het maar wil, dus de volgorde doet er niet toe.
Dus we tellen te veel verschillende 'hands'.
We tellen alle verschillende manieren dat dezelfde set
kaarten kan worden gesorteerd.
Dus om niet te veel te tellen, moeten we het antwoord delen door
het aantal volgordes waarop de 9 kaarten kunnen worden gesorteerd.
Dus we moeten delen door het aantal volgordes waarop de
'hand' kan worden gesorteerd.
Op hoeveel volgordes kunnen de 9 kaarten liggen?
Als ik 9 kaarten heb en ik kies één van de negen
voor de eerste plek, betekent dat ik 9 mogelijkheden heb
om een kaart op de eerste plek te kiezen.
Voor de tweede plek, heb ik nog over 8 mogelijke kaarten
want ik heb al één kaart op de eerste plek liggen
dus nog 8 kaarten over.
Hier 7, hier 6, 5, 4, 3, 2 en dan nog maar één
De laatste plek, daar is nog maar één mogelijke kaart
om neer te leggen.
Dus dit getal, 9 maal 8, maal 7, maal 6,
maal 5, maal 4, maal 3, maal 2,
maal 1, of -- vermenigvuldig 9 met
elk getal kleiner dan 9.
Elke geheel getal kleiner dan 9, moet ik zeggen.
Dat wordt 9 faculteit genoemd en je schrijft dat als
9! (uitroepteken)
Dus eerst bedenken we hoeveel verschillende volgordes
er kunnen zijn
dat is het aantal 'hands' waarin de volgorde er toe deed
maar dan willen we dat delen door het aantal volgrdes
dat we meerdere keren hebben meegeteld.
Dat zal het antwoord zijn
het juiste antwoord.
Dit zal een 'super duper' groot getal zijn.
Laten we uitrekenen hoe groot het getal is.
We hebben 36 -- ik scroll een beetje naar links
36 maal 35, maal 34, maal 33, maal 32, maal 31, maal 30,
maal 29, maal 28, gedeeld door 9! (9 faculteit)
Dat kan ik zo intypen:
Ik gebruik haakjes -- gedeeld door haakje-openen 9
maal 8, maal 7, maal 6, maal 5, maal 4, maal 3, maal 1
haakje-sluiten
Hopelijk kan de rekenmachine zo'n groot getal aan.
Het antwoord is 94.143.280
Deze even aan de kant, zodat ik het kan lezen
Dus het getal is gelijk aan 94.143.280
Dat is het antwoord op de vraag.
Er zijn 94.143.280 mogelijk 'hands' van 9 kaarten
in deze situatie.
We hebben hier gewoon naartoe gewerkt.
Gezond verstand gebruikt.
Er is ook een formule
dat precies hetzelfde doet
Hoe je dat opschrijft is,
we hebben 36 dingen en we kiezen er daar 9 van.
Mee eens?
En de volgorde van die 9 dingen maakt ons niet uit,
formeel: n boven k
Laat het me zo noteren.
Dus wat doen we hier?
We hebben 36 dingen,
daar kiezen we er 9 van.
Dus het bovenste getal, was 36 faculteit.
Maar 36 faculteit zou ook doorgaan na 27, 26, 25...
zou door blijven gaan
Maar wij stopten bij het 9e getal vanaf 36.
Dus dit is 36 faculteit, dit deel hier
is niet gewoon 36 faculteit,
het is 36 faculteit gedeeld door (36 -- 9) faculteit.
Wat is 36 min 9?
Dat is 27
Dus 27 faculteit -- laten we hier goed naar kijken
36 faculteit, dat is 36 maal 35, maal ... tot en met
maal 28, maal 27, tot en met 1.
Dat is 36 faculteit.
En wat is 36 min 9 faculteit?
Dat is hetzelfde als 27 faculteit
Dus delen door 27 faculteit, dat is 27 maal 26,
maal ... tot en met 1.
Dat is precies hetzelfde als erboven
Dit is 27 maal 26, mag je tegen elkaar wegstrepen.
Dus als je 36! deelt door (36 -- 9) faculteit,
krijg je het eerste, negen grootste getallen uit 36 faculteit.
Dat is precies wat we hier ook hadden.
Dus dit is gelijk aan dat.
Dan delen we dat nog door 9 faculteit.
-
En dat noemen we 36 boven 9.
Soms zie je deze formule formeel geschreven als
n boven k.
En de formule schrijf je als n faculteit gedeeld door
(n -- k) faculteit, en in de deler ook nog k faculteit.
Dat is de algemene formule voor als je n dingen hebt
en je wilt alle mogelijk manieren bereken waarop je
k dingen kan kiezen uit die n dingen, als de
volgorde niet van belang is.
Het gaat om welke k dingen je uit koos,
maar niet de volgorde waarin je die k dingen koos.
En dat is wat we hier gedaan hebben.