Tip:
Highlight text to annotate it
X
We hebben al geleerd over de het optellen van matrices, matrices aftrekken,
matrix vermenigvuldiging.
Dus kan je je afvragen, is er een
equivalent voor het delen van matrices?
En voor we daar toe komen, wil ik
een aantal concepten aanbrengen.
En dan zullen we zien dat er iets is dat misschien niet
helemaal hetzelfde is als deling maar dat er toch verwant aan is.
Voor we daar aan beginnen, ga ik eerst iets zeggen over
het concept van de eenheidsmatrix.
Dus de eenheidsmatrix is een matrix.
En ik geef die weer met een hoofdletter I.
Wanneer ik dit vermenigvuldig met een andere matrix
-- eigenlijk weet ik niet of ik dat puntje hier moet schrijven -- maar goed,
wanneer ik die vermenigvuldig met een andere matrix,
krijg ik opnieuw diezelfde matrix.
Of als ik die matrix vermenigvuldig met de eenheidsmatrix,
krijg ik die matrix opnieuw.
En het is belangrijk te beseffen dat bij matrix
vermenigvuldiging de richting belangrijk is.
Ik heb je hier al wat informatie gegeven dat --
we kunnen er niet zomaar van uitgaan dat als we gewone vermenigvuldiging doen,
dat a maal b altijd gelijk is aan b maal a.
Het is belangrijk als we matrix vermenigvuldiging doen,
aan te tonen dat het uitmaakt
in welke volgorde je de vermenigvuldiging doet.
Maar goed, en dit kan maar in beide richtingen
als we werken met vierkante matrices.
Het kan werken in een richting of de andere
als deze matrix niet-vierkant is, maar het zal niet in beide richtingen gaan.
En je kan dat zien op de manier hoe we
matrix vermenigvuldiging geleerd hebben, waarom dat zo is.
Maar goed, ik heb deze matrix gedefinieerd.
En hoe gaat deze matrix er dan uitzien?
Eigenlijk is het best eenvoudig.
Als we een 2x2 matrix hebben, dan is de eenheidsmatrix 1, 0, 0, 1.
Als je een 3x3 wil, is het 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1.
Ik denk dat je het patroon wel ziet.
Als je een 4x4 matrix wil, is de eenheidsmatrix 1,0,0,0,
0,1,0,0, 0,0,1,0 0,0,0,1.
Je ziet dus dat gelijk welke matrix, voor een bepaalde
dimensie - ik bedoel dat we dit kunnen uitbreiden tot een n maal n
matrix - je dan enkel 1 hebt langs deze diagonaal die van links boven
naar rechts beneden loopt.
En al de rest is een 0.
Dus dat heb ik je verteld.
Laten we nu bewijzen dat het ook echt klopt.
Laten we deze matrix nemen en vermenigvuldigen
met een andere matrix.
En bewijzen dat die matrix niet verandert.
Dus als we 1,0 0,1 nemen.
En we vermenigvuldigen het met -- laten we een algemene matrix nemen.
Zodat je ziet dat dit geldt voor alle getallen.
a, b, c, d.
Waaraan is dat dan gelijk?
We gaan deze rij vermenigvuldigen met deze kolom.
1 maal a plus 0 maal c is a.
En deze rij maal deze kolom.
1 maal b plus 0 maal d.
Dat geeft b.
Dan deze rij maal deze kolom.
0 maal a plus 1 maal c is c.
Dan tenslotte deze rij maal deze kolom.
0 maal b plus 1 maal d.
Dat geeft d.
Ziezo.
En het kan een leuke oefening zijn om het te proberen
in de omgekeerde richting.
En eigenlijk is het zelfs een betere oefening om dit te proberen
met een 3x3 matrix.
En je zal zien dat het allemaal uitkomt.
Het is een goede oefening voor je om na te denken waarom het uitkomt.
En als je er over nadenkt, is het omdat je
je rij-informatie krijgt van hier en je kolom-
informatie van hier.
En in wezen, telkens als je deze vector vermenigvuldigt met
deze vector, dan vermenigvuldig je de
overeenkomstige termen en dan tel je ze op, juist?
Dus als je een 1 en een 0 hebt, dan gaat de 0 alles weglaten
behalve de eerste term in deze kolomvector.
Dus dat is alles wat er overblijft.
En dat is waarom het al de rest gaat weglaten
behalve de eerste term in deze kolomvector.
En daarom blijft enkel b over.
Op dezelfde manier gaat dit alles weglaten behalve
de tweede term.
Daarom hou je hier enkel c over.
Dit maal dit.
Je houdt enkel c over.
Dit maal dit.
Je houdt enkel d over.
En hetzelfde is geldig wanneer je werkt met
3x3 of nxn vectoren.
Dat is interessant.
Je hebt de eenheidsvector.
Als we onze analogie compleet zouden willen maken --
laat eens kijken.
We weten dat ik de gewone wiskunde, als ik 1 maal a doe,
krijg ik a.
En we weten ook dat 1 over a maal a - dit is nu gewoon de normale wiskunde-
dit heeft niets met matrices te maken -- is gelijk aan 1.
En zoals je weet noemen we dit de inverse van a.
En dat is ook hetzelfde als delen door het getal a.
Is er dan ook een analoog voor matrices?
Ik ga de kleuren veranderen want ik heb dit groen al een beetje
teveel gebruikt.
Bestaat er een matrix, waarbij als ik een matrix a heb en
ik vermenigvuldig die met deze matrix -- en ik noem die de inverse
van a -- is er een matrix die als uitkomst niet het getal 1 oplevert
maar die het equivalent van 1 oplevert
in de matrix wereld?
Dus waarbij ik de eenheidsmatrix bekom?
En het zou extra mooi zijn als ik deze vermenigvuldiging
kon omdraaien.
Dus A maal de inverse van A zou ook gelijk moeten zijn aan
de eenheidsmatrix.
En als je er over nadenkt, als beiden waar zijn,
dan is inverse A niet alleen de inverse van A maar
is A ook de inverse van inverse A.
Dus ze zijn elkaars inverse.
Dat is wat ik wou zeggen.
En er blijkt zo'n matrix te bestaan.
Het heet de inverse van A,
zoals ik al drie keer gezegd heb.
En nu zal ik tonen hoe we die moeten berekenen.
Laten we dat dus doen.
En we zullen zien dat de berekening voor een 2x2 vrij
eenvoudig is.
En hoewel je kan denken dat het een beetje mysterieus is
hoe mensen deze manier van werken hebben uitgevonden,
ofwel het algoritme hiervoor.
3x3 wordt al een beetje lastiger.
4x4 gaat een hele dag kosten.
5x5, je gaat bijna zeker een slordigheidsfout maken
als je de omgekeerde van een 5x5 matrix zou maken.
Het is beter dat over te laten aan een computer.
Maar goed, hoe bereken we de matrix?
Laten we het doen en dan zullen we vaststellen
dat het werkelijk de inverse is.
Dus, als ik een matrix A heb, en dat is a, b, c, d.
En ik wil zijn inverse matrix berekenen.
De inverse matrix is in feite - en dit gaat
voodoo lijken.
In latere videos zal ik een beetje meer
achtergrond geven waarom dit klopt, of beter gezegd ik zal jullie in het echt tonen hoe
we hier op uit komen.
Maar om dit moment is het beter om gewoon de stappen te onthouden
zodat je er gerust in kan zijn dat je weet
dat je een inverse matrix kan berekenen.
Het is gelijk aan 1 gedeeld door dit getal maar dit, a maal d
min b maal c.
ad min bc
En deze grootheid hier beneden, ad min bc, dat heet
de determinant van matrix A.
En we gaan dat vermenigvuldigen.
Dit is gewoon een getal.
Dit is gewoon een scalaire grootheid.
En we gaan die vermenigvuldigen door --
je wisselt de a en de d om.
Je wisselt links boven en rechts onder om.
Dus je krijgt d en a.
En je maakt deze twee, je maakt links onder
en rechts boven negatief.
Dus min c, min b.
En de determinant - nog eens, dit is iets dat
je voor de moment even moet aannemen.
In latere videos beloof ik meer uitleg te geven.
Maar het is eigenlijk nogal ingewikkeld om uit te leggen
wat de determinant is.
En als je dit doet in het secundair,
dan moet je enkel weten hoe hem uit te rekenen.
Hoewel ik dit niet graag zeg.
Dus wat is dit?
Dit wordt ook de determinant van A genoemd.
Het kan zijn dat je op een examen krijgt :
bereken de determinant van A.
Ik ga je uitleggen hoe je dat moet doen.
Het wordt genoteerd als A tussen absolute waarde streepjes.
En het is gelijk aan ad min bc.
Dus een andere manier om dit uit te drukken,
dit kan 1 over de determinant zijn.
Dus kan je schrijven de omgekeerde van A is gelijk aan
1 over de determinant van A maal d, min b, min c, a.
Bekijk dat eens goed.
Maar laten we het toepassen op een echt geval en dan kan je zien
dat het nog zo moeilijk niet is.
We veranderen de letters zodat je weet dat het niet altijd
een A moet zijn
Laten we zeggen dat ik een matrix B heb.
En de matrix B is 3 -- ik ga gewoon willekeurige getallen nemen
min 4, 2, min 5.
Nu gaan we de inverse matrix van B uitrekenen.
Dus de inverse van B gaat gelijk zijn aan
1 gedeeld door de determinant van B
Wat is de determinant?
Het is 3 maal -5 min 2 maal -4.
Dus 3 maal -5 is -15, min 2maal -4.
2 maal -4 is -8.
We gaan dat aftrekken.
Dus wordt het +8.
En we gaan dit vermenigvuldigen met wat?
Wel, we hebben deze termen omgewisseld. Het is dus -5 en 3.
En we maken deze termen negatief.
-2 en 4.
4 was -4, dus nu wordt het 4.
En laten we eens kijken of we dit een beetje kunnen vereenvoudigen.
Dus de inverse van B is gelijk aan -15 plus 8.
Dat is -7.
Dus dit wordt 1/7.
Dus de determinant van B -- we zouden kunnen schrijven B's determinant --
is gelijk aan -7.
Dus dat is -1/7 maal -5, 4, -2, 3.
Wat gelijk is aan -- dit is een scalar, dit is een getal
dus we vermenigvuldigen het met elk van de elementen
dus dat is gelijk aan, min maal min wordt plus.
Dat wordt 5/7.
5/7 min 4/7
Eens kijken.
Plus 2/7.
En dan -3/7.
Het wordt wat ingewikkeld.
We komen hier uit op breuken en zo.
Maar laten we controleren of dit echt de inverse is
van matrix B.
Laten we ze vermenigvuldigen.
Voor ik dat kan doen moet ik wat plaats maken.
Dit heb ik niet meer nodig.
Ziezo.
Ok.
Dus laten we aantonen dat dit maal dit, of dit maal
dat gelijk is aan de eenheidsmatrix.
Dat gaan we doen.
Ik ga de kleuren wijzigen.
Dus de inverse van B is 5/7, als ik nergens
onderweg een fout gemaakt heb.
-4/7.
2/7.
En -3/7.
Dat is de inverse matrix van B.
En dat ga ik vermenigvuldigen met B.
3,-4
2 -5.
En dit gaat het resultaat van de vermenigvuldiging matrix worden.
Ik heb wat plaats nodig voor mijn berekeningen.
Ik ga van kleuren wisselen.
Ik ga deze rij nemen maal deze kolom.
Dus 5/7 maal 3 is gelijk aan?
15/7.
Plus -4/7 maal 2
Dus -4/7 maal 2 is gelijk aan -- even controleren
juist, 5 maal 3 is 15/7.
-4 maal 2, dus -8/7.
Nu gaan we deze rij vermenigvuldigen met deze kolom.
Dus 5 maal -4 is -20/7.
plus -4/7 maal -5.
Dat is +20/7.
Mijn hersenen zijn aan het vertragen, met die
matrix vermenigvuldigingen met breuken en negatieve getallen.
Maar dit is wel een goede oefening voor
verschillende delen van de hersenen.
Goed.
Laten we nu naar beneden gaan en deze term hier doen.
Dus nu gaan we deze rij vermenigvuldigen met deze kolom.
Dus 2/7 maal 3 is 6/7.
Plus -3/7 maal 2.
Dus dat is -6/7.
Nog een term te gaan.
De laatste rechte lijn.
2/7 maal -4 is -8/7.
Plus -3/7 maal -5.
Deze mintekens heffen elkaar op en we krijgen +15/7.
En als we vereenvoudigen, wat krijgen we dan?
15/7 min 8/7 is 7/7.
En dat is gelijk aan 1.
Dit is duidelijk gelijk aan 0.
Dit is 0.
6/7 min 6/7 is 0.
En dan -8/7 plus 15/7, dat is gelijk aan 7/7/
En dat is ook 1.
En daarmee zijn we rond.
We zijn er in geslaagd deze matrix te inverteren.
En het moeilijkste was aan te tonen dat het de inverse was
door te vermenigvuldigen, omdat we al deze berekeningen moesten doen met breuken
en negatieve getallen.
Maar hopelijk ben je het er mee eens.
En je zou het andersom kunnen proberen om aan te tonen dat
als je het andersom vermenigvuldigt,
je ook de eenheidsmatrix bekomt
Kortom, dat is hoe je de inverse berekent
van een 2x2 matrix.
En zoals we in de volgende video gaan zien,
is de berekening van de inverse van een 3x3 matrix nog veel leuker.
Tot binnenkort.