Tip:
Highlight text to annotate it
X
Welkom bij de presentatie over afgeleiden.
Ik denk dat je zal ondervinden dat vanaf nu wiskunde
heel wat leuker begint te worden vergeleken met de vorige lessen.
We beginnen met onze afgeleiden.
Ik weet dat het heel ingewikkeld klinkt.
Wel, in het algemeen, als ik een rechte lijn heb-- eens kijken of ik
een behoorlijke rechte lijn kan tekenen-- als ik een rechte
lijn had-- dat zijn mijn coördinaatassen, die niet recht zijn--
dit is een rechte lijn.
Maar als je zo'n rechte lijn hebt, en ik vraag je om
de helling te zoeken-- ik denk dat je al weet hoe dat moet--
het is gewoon het verschil in y gedeeld door het verschil in x.
Als ik de helling zou willen weten-- ik bedoel de helling is hetzelfde,
want het is een rechte lijn, de helling blijft hetzelfde
langs de hele lijn, maar als ik de helling wil weten bij eender
welk punt in deze lijn, wat ik doe is ik neem een
punt x-- laat ons zeggen ik neem dit punt.
We nemen een ander kleurtje-- ik neem dit punt, ik kies
dit punt-- het is vrij willekeurig, ik kan eender welke twee punten
nemen, en ik zoek uit hoeveel het verschil in y is-- dit
is het verschil in y, delta y, dat is gewoon een andere manier om
te zeggen verschil in y-- en dit is het verschil in x,
delta x.
En we kwamen er achter dat de helling in feite overeenkomt met
verandering in y gedeeld door verandering in x.
En een andere manier om dat te zeggen is delta-- dat is die driehoek--
delta y gedeeld door delta x.
Heel eenvoudig.
Wat gebeurt er echter als we het niet over
een rechte lijn hebben?
Eens kijken of ik plaats heb om dat te tekenen.
Nog een coördinatenas.
Nog altijd slordig, maar je begrijpt wel wat ik bedoel.
Laten we nu zeggen dat, in plaats van een gewone lijn zoals deze, dit
de normale y is gelijk aan mx plus b volgt.
Laat ons zeggen dat ik een curve heb y is gelijk aan x kwadraat.
Die teken ik in een andere kleur.
Dus y is gelijk aan x kwadraat ziet er ongeveer zo uit.
Het is een curve, je bent er waarschijnlijk wel al vertrouwd mee ondertussen.
En wat ik je nu ga vragen is, wat is de
helling van deze curve?
Denk daar eens over na.
Wat betekent het om de helling van een curve te nemen?
Wel, in deze lijn was de helling over de hele
lijn altijd hetzelfde.
Maar als je deze curve bekijkt, zie je dat
de helling verandert, niet?
Hier is hij bijna vlak, en het wordt steiler steiler
steiler steiler tot hij echt steil wordt.
En als je echt ver gaat, wordt hij extreem steil.
Dus je zal je wel afvragen, wel, hoe kan je de helling
berekenen van een curve wiens helling steeds verandert?
Wel, er is geen helling voor de hele curve.
Voor een lijn is er een helling voor de hele lijn, omdat
de helling nooit verandert.
Maar wat we wel kunnen proberen berekenen is wat de
helling is bij een bepaald punt.
En de helling bij een bepaald punt zou hetzelfde zijn als de
helling van een raaklijn.
Bijvoorbeeld-- ik neem een groen-- de helling bij dit punt
zou hetzelfde zijn als de helling van deze lijn.
Juist?
Omdat deze lijn ze raakt.
Dus hij raakt de curve, en precies op dit punt zouden
ze-- deze blauwe curve, y is gelijk aan x kwadraat, zou dezelfde
helling hebben als deze groene lijn.
Maar als we naar een punt hier gaan, zelfs als is de grafiek
heel slecht getekend, zou de helling iets zoals
dit zijn.
De raakhelling.
De helling zou negatief zijn, en hier hebben we een positieve
helling, maar als we hier een punt nemen, zou de helling
nog positiever zijn.
Dus hoe gaan we dit uitzoeken?
Hoe gaan we uitvissen wat de helling is bij eender welk punt
lang de y is gelijk aan x kwadraat curve?
Daar gebruiken we de afgeleide voor, en nu zal je
voor het eerst zien waarom limieten in feite zo'n
handig begrip zijn.
Ik ga de curve nog een keer proberen tekenen.
OK, ik zal mijn assen tekenen, dat is de y-as-- ik ga alleen het
eerste kwadrant doen-- en dit is-- ik moet echt eens een
beter gereedschap zoeken om mijn-- dit is de x-coördinaat, en laat ik
mijn curve in het geel tekenen.
Dus y is gelijk aan x kwadraat ziet er ongeveer zo uit.
Ik concentreer me heel erg om het een beetje
fatsoenlijk te tekenen.
OK.
Dus laat ons zeggen dat we de helling bij dit punt zoeken.
Laten we dit punt a noemen.
Bij dit punt is x gelijk aan a.
En dan is dit natuurlijk f van a.
Dus wat we kunnen proberen is om de helling
te zoeken van een secante.
Een lijn tussen-- we nemen een ander punt, bijvoorbeeld, niet
te ver van dit punt op de grafiek, bijvoorbeeld hier, en als
we de helling van deze lijn kunnen vinden zou dat een
benadering zijn van de helling van de curve
bij precies dit punt.
Ik zal de secante tekenen.
Zo ongeveer.
De secante ziet er ongeveer zo uit.
En laat ons zeggen dat dit punt a plus h is, waar
de afstand gewoon h is, dit is een plus h, we gaan gewoon
h weg van a, en dan is dit punt hier
f van a plus h.
Mijn pen doet het niet.
Dus dit zou een benadering zijn van wat de
helling bij dit punt is.
En hoe dichter h komt, hoe dichter dit punt bij
dit punt komt, hoe beter de benadering zal zijn,
helemaal tot het punt waar als we de helling zouden
kunnen krijgen als h gelijk is aan 0, zou dat werkelijk de helling zijn,
de onmiddellijke helling, van dat punt op de curve.
Maar hoe kunnen we de helling berekenen als h gelijk is aan 0?
Nu zeggen we dus dat de helling tussen deze twee
punten, dat zou zijn de verandering in y, dus wat is
de verandering in y?
Het is dit, dus dit punt hier is-- de x
coördinaat is-- mijn ding blijft opspelen--
coördinaat is a plus h, en de y-coördinaat is f van a plus h.
En dit punt hier, de coördinaat is a en f van a.
Dus als we de standaardformule voor een helling gebruiken, zoals eerder al, zouden
we zeggen verandering in y gedeeld door verandering in x.
Wel, wat is de verandering in y?
Dat is f van a plus h-- deze y-coördinaat min deze
y-coördinaat-- min f van a over de verandering in x.
Wel, die verandering in x is deze x-coördinaat, a plus h, min
deze x-coördinaat, min a.
En deze a en deze a schrappen mekaar natuurlijk.
Dat is dus f van a plus h, min f van a, samen over h.
Dit is alleen de helling van de secante.
En als we de helling van de tangens willen, zouden we
alleen moeten uitzoeken wat er gebeurt als h kleiner en
kleiner en kleiner wordt.
Je snapt wel waar ik naartoe wil.
Wat we eigenlijk willen, als we de helling van deze raaklijn
willen vinden, is de limiet zoeken van deze
waarde als h 0 benadert.
En dan, als h 0 benadert, zal deze secante
dichter en dichter bij de helling van de tangens komen.
En dan weten we de exacte helling op dit exact
punt van de curve.
En dat blijkt in feite de definitie te zijn
van de afgeleide.
En de afgeleide is niets meer dan de helling van een
curve bij een exact punt.
En dit is super handig, want voor het eerst,
alles waar we tot nu toe over gepraat hebben is
de helling van een rechte.
Maar nu kunnen we eender welke doorlopende curve, of de
meeste doorlopende curves nemen, en daar de helling van zoeken
op een bepaald punt.
Dus nu ik je de definite van een afgeleide gegeven heb,
en misschien hopelijk een beetje intuïtie, in de
volgende presentatie ga ik deze definitie gebruiken om
toe te passen op enkele funties, zoals x kwadraat en andere, en
je nog enkele vraagstukken te geven.
Tot bij de volgende presentatie.