Tip:
Highlight text to annotate it
X
Complexe getallen
Ik ben Adrien Douady
Al mijn werk in de wiskunde
had te maken met complexe getallen.
Ik heb bijgedragen tot de vooruitgang van de algebraïsche meetkunde
en de theorie van dynamische systemen.
Die getallen hebben een lange geschiedenis.
U ziet hier links Tartaglia en Cardano,
de pioniers, die leefden in de Renaissance.
Rechts Gauchy en Gauss
die de theorie geconsolideerd hebben in de 19e eeuw.
De complexe getallen zijn niet
zo complex als men zou denken.
Men noemde ze eerst de "onmogelijke getallen"
en men noemt ze soms nog altijd "imaginair"
..want men heeft inderdaad wat verbeelding nodig.
Maar vandaag hebben die getallen de wetenschap veroverd
en ze zijn niet echt meer mysterieus.
Het is dank zij hen dat men
mooie fractale vormen kan construeren,
en op dat onderwerp heb ik veel gewerkt.
Ik heb zelfs een film gemaakt: “De dynamiek van het konijn”,
een van de eerste wiskundige animatiefilms.
Ik ga de complexe getallen eerst op het bord uitleggen.
Wiskundigen schrijven graag met krijt..
U zal zien dat de lat, de winkelhaak en de gradenboog
zich soms wat vreemd gedragen.
We tekenen een lijn met onderverdelingen
Een van de mooiste ideeën uit de wiskunde
is het verbinden van meetkunde en algebra:
Dat is het vertrekpunt van de algebraïsche meetkunde.
Zoals men getallen kan optellen, kan men ook punten optellen.
Hier is een rood punt op de lijn, en aan ander blauw punt.
Die gaan we optellen.
Dat geeft het groene punt! 1 plus 2 is 3!
Als het rode en blauwe punt zich verplaatst
dan verplaatst ook het groene punt zich.
Nog interessanter, men kan punten vermenigvuldigen.
We kijken naar de vermenigvuldiging met -2.
Die zet het punt 1 natuurlijk om in het punt -2.
Als we nog eens met -2 vermenigvuldigen
moet men dezelfde beweging doen:
van kant veranderen ten opzichte van de oorsprong
en de afstand tot de oorsprong verdubbelen.
..en we bekomen natuurlijk 4.
Als we twee keer na mekaar met -2 vermenigvuldigen,
dan hebben we met 4 vermenigvuldigd.
De vermenigvuldiging met -1 is heel eenvoudig.
Elk punt wordt naar zijn symmetrisch punt
ten opzichte van de oorsprong gestuurd.
men moet dus een halve toer doen,
of een draaiing met 180 graden.
Als we een getal met zichzelf vermenigvuldigen
is het resultaat altijd positief.
Als men bijvoorbeeld vermenigvuldigt met -1
dan draait men een halve toer;
als men het nog eens doet
dan komt men terug op het vertrekpunt!
En het is daarom dat -1 maal -1 simpelweg gelijk
is aan 1.
U ziet dat de vermenigvuldiging met -1
2 naar -2 stuurt
en dat, als we nog eens met -1 vermenigvuldigen
we terug op 2 uitkomen.
Dat ligt voor de hand, nietwaar?
Er is dus geen enkel getal dat
vermenigvuldigd met zichzelf -1 geeft.
Anders gezegd, de vierkantswortel uit -1 bestaat niet.
Maar dat was natuurlijk gerekend
zonder de verbeelding van de wiskundigen!
In het begin van de 19e eeuw had Robert Argand een mooi idee.
Hij zei:"aangezien vermenigvuldigen met -1
hetzelfde is als draaien over 180°,
dan is de vierkantswortel uit -1 hetzelfde als draaien over 90°.
Als ik twee keer een kwart toer draai,
dan draai ik een halve toer!
Het kwadraat van een kwart toer is een halve toer, dus -1."
Men moest er maar aan denken!
Argand zegt dus dat de vierkantswortel van -1
overeenkomt met het punt 1 verdraaid over 90°.
Daarmee moeten we natuurlijk de horizontale lijn verlaten
en daarmee gaan we ook getallen toekennen
aan punten van het vlak die niet op de lijn liggen!
Aangezien dit een ietwat bizarre constructie is
zegt men dat dit punt,dat de vierkantswortel van -1 voorstelt
een imaginair getal is, en de wiskundigen noemen het i.
Maar eens we de lijn hebben durven verlaten
is het vervolg eenvoudig.
We kunnen ook 2i, 3i enz. voorstellen.
Met elk punt van het vlak komt een complex getal overeen
en elk complex getal stelt een punt van het vlak voor.
De punten van het vlak zijn een speciaal soort getallen geworden!
Die getallen kunnen we optellen zoals normale getallen.
Kijk naar het rood punt, dat het getal 1+2i is.
We tellen 3+i, het blauwe punt, erbij op.
Men kan simpelweg de optelling maken
zoals we leerden op school.
dat geeft 4+3i.
Meetkundig gezien is het niets meer dan de optelling van vectoren.
Complexe getallen kunnen we dus zonder problemen optellen!
Maar nog interessanter,
die complexe getallen kan men ook vermenigvuldigen
net zoals gewone getallen.
Laat eens kijken..
Een getal bijvoorbeeld met 2 vermenigvuldigen :
Twee keer 1+2i, dat is natuurlijk
2+4i, enzovoort
Meetkundig gezien is vermenigvuldigen met 2 gemakkelijk:
enkel een factor twee groter maken.
het dubbele van het rode punt is het groene punt!
Vermenigvuldigen met i is ook niet moeilijk
want we weten dat i overeenkomt met een kwart toer.
Om 3+i met i te vermenigvuldigen
volstaat het dus om het punt een kwart toer te draaien.
We vinden -1+3i
De complexe getallen zijn niet zo complex!
En tenslotte kan men twee willekeurige complexe getallen
zonder problemen vermenigvuldigen.
Laat ons eens proberen om 2+1,5i en -1+2,4i te vermenigvuldigen.
Zoals we gewoon zijn
vermenigvuldigen we eerst met 2, dan met 1,5i, en we tellen de resultaten op.
We krijgen dus:
"maal twee plus…
Dit geeft!
-2 + 4,8 i - 1,5 i + 3,6 maal i maal i
Maar we herinneren ons dat i in het kwadraat gelijk is aan -1,
want daar is i voor uitgevonden!
We hebben dus
-2 + 4,8 i - 1,5 i -3,6 i - 1,5 i.
Als we dat wat rangschikken:
-2 -3,6 + 4, 8 i - 1,5 i,
dus
-5,6 + 3,3 i.
Zo kunnen we nu dus
complexe getallen vermenigvuldigen
of anders gezegd, we kunnen punten in het vlak vermenigvuldigen!
Het is ongelooflijk
men dacht dat het vlak dimensie twee had
want er zijn twee getallen nodig
om de plaats van een willekeurig punt te beschrijven
en nu zeg ik dat één enkel getal genoeg is.
We zijn natuurlijk van getallen veranderd
en nu gaat het over complexe getallen!
We gaan nu twee begrippen definiëren:
de module en het argument van een complex getal.
De module van een complex getal z is simpelweg
de afstand tot de oorsprong van het overeenkomstig punt in het vlak
We nemen de lat om de module van het rode punt te meten,
namelijk 2+1,5i.
We meten een afstand van 2,5.
De module van 2+1,5i is dus 2,5.
Voor het blauwe punt vinden we 2,6.
En voor het groene punt,
het product van het rode punt en het blauwe punt
vinden we 6,5.
Dat is een algemene regel: de module van het product van twee complexe
getallen is niets anders dan het product van de modules van de twee getallen.
Het argument van een complex getal bekomen we
door de hoek te meten tussen de abscis as
en de lijn tussen de oorsprong en het punt.
Hier is bijvoorbeeld het argument van het rode complexe getal
gelijk aan 36,8 graden.
Voor het blauwe punt is het 112,6 graden.
Voor het product is het 149,4 graden:
de som van de argumenten van de twee getallen.
Als we twee complexe getallen vermenigvuldigen
moeten we de modules vermenigvuldigen en de argumenten optellen.
We beëindigen onze eerste ontmoeting met de complexe getallen
met de stereografische projectie.
We nemen een sfeer die raakt aan het vlak van het bord
Door stereografische projectie
komt met elk punt van het bord,
dus elk complex getal,
een punt op de sfeer overeen.
Enkel de Noordpool,
dus de pool van de projectie
komt met geen enkel complex getal overeen.
Men zegt dat dit punt overeenkomt met 'oneindig'.
Daarmee zeggen de wiskundigen dat de sfeer
een complexe projectieve rechte is.
Waarom een rechte?
Omdat slechts één getal haar punten beschrijft.
Waarom complex?
Omdat het een complex getal is.
Waarom projectief?
Omdat we een punt op oneindig hebben toegevoegd door de projectie.
Rare jongens, die wiskundigen,
die zeggen dat een sfeer een rechte lijn is?