Tip:
Highlight text to annotate it
X
Vezeling...vervolg
We nemen terug de sfeer S² met breedtecirkels.
Zoals we gezien hebben kunnen we ons een cirkel van Hopf
voorstellen boven elk punt van S².
Laat ons zien wat we hebben boven een van de breedtecirkels van S²,
bijvoorbeeld de evenaar,
Hier is wat er zich boven een andere breedtecirkel bevindt,
wat meer naar het zuiden.
Waarom wordt de torus zo dun?
Omdat er boven de Zuidpool
natuurlijk maar 1 cirkel zit.
En boven de Noordpool krijgen we een rechte
eigenlijk een cirkel door oneindig, de rode lijn!
Nu laten we dat draaien.
Rotaties, ja, maar natuurlijk rotaties
in de ruimte met 4 dimensies.
Ik moet toegeven dat een deel van deze figuren
al lang voor mijn tijd bekend waren.
Het bestaan van vier families van cirkels op de torus
wordt toegeschreven aan de markies van Villarceau
en men vindt daar bijvoorbeeld sporen van terug
in een beeldhouwwerk in de kathedraal van Straatsburg.
We nemen een torus;
het is het oppervlak dat beschreven wordt door een cirkel
die ronddraait rond een as in het vlak van de cirkel.
We bekijken de doorsnede van de torus met een vlak.
Kijk hier hoe ik het vlak gekozen heb.
Het is 'bitangent' aan de torus
omdat het de torus raakt in 2 punten.
Maar kijk goed, want
het vlak snijdt de torus in twee perfecte cirkels.
Dit is de stelling van Villarceau:
een bitangent vlak aan de torus snijdt de torus op twee cirkels.
Er is natuurlijk meer dan één bitangent vlak.
Hier is een ander dat snijdt volgens twee andere Villarceau cirkels.
En we kunnen hetzelfde doen voor alle bitangente vlakken :
het volstaat om te draaien rond de symmetrie as.
Ziet U, door elk punt op een torus
kan men 4 cirkels laten gaan
die we krijgen door te snijden met goed gekozen vlakken.
Eén van die cirkels is een breedtecirkel
de andere is een meridiaan,
dan een eerste cirkel van Villarceau
en dan de tweede.
Aangezien we hetzelfde kunnen doen op om het even welk punt
zien we dat de torus bedekt wordt met vier families van cirkels.
Twee cirkels uit dezelfde familie snijden elkaar niet.
Een blauwe cirkel snijdt een rode cirkel in één enkel punt.
Een gele cirkel en een witte cirkel snijden mekaar in twee punten:
dit zijn de cirkels van Villarceau.
Kijk goed naar de gele cirkels:
het zijn cirkels van Hopf!
Herinner U wat we zagen boven een
breedtecirkel in de vezeling:
we zagen een torus vol cirkels die twee aan twee verbonden waren
net zoals deze torus met gele cirkels.
..en de witte cirkels dan?
Wel, dat zijn de 'vezels' van een andere Hopf vezeling!
diegene die we bekomen door de andere te spiegelen.
Om te eindigen
gaan we een torus nemen
met zijn vier families van cirkels
en we stellen ons die voor in de sfeer S³,
we gaan de sfeer laten draaien in de ruimte van 4 dimensies
om tenslotte stereografisch te projecteren
in de ruimte van 3 dimensies.
Zo bekomen we oppervlakken
die ook bedekt zijn met 4 families van cirkels:
het zijn de cycliden van Dupin.
Soms, als de torus door de projectie pool gaat,
gaat het oppervlak naar oneindig.
Bij die beweging draait de torus binnenstebuiten.
De binnenkant is roze, de buitenkant is groen.
Een eenvoudige draaiing en hop !
het groen wordt roze, en het roze wordt groen.
Is het niet geweldig?