Tip:
Highlight text to annotate it
X
Laten we nog een drievoudige integraal uitvoeren, en bij deze zal ik
niet echt de drievoudige integraal evalualeren.
Maar wat we gaan doen is: we gaan de drievoudige integraal definieren.
We gaan iets doen wat we ook hebben gedaan in de
tweede video waar we de *** hebben berekend
gebruik makend van een dichtheidsfunctie
Maar wat ik in deze video wil laten zien is hoe je bepaald
waar de grenzen zijn, wanneer het figuur een beetje
ingewikkelder is.
En als we de tijd hebben, proberen we het te doen terwijl we
de volgorde van integratie veranderen
Dus, stel we hebben een oppervlakte-- laat ik iets
bedenken-- 2x plus 3 y is gelijk aan 6.
Laten we die oppervlakte tekenen.
Het ziet er ongeveer zo uit.
Dit wordt mijn x-as
Dit wordt mijn z-as
Dit wordt mijn y-as
en maak de tekening af.
x, y en z.
en ik wil de oppervlakte weten van de postivitieve octant,
welnu, omdat we te maken hebben met drie-dimenties,
hebben we, in plaats van vier quadranten te maken
met acht octanten
Maar we willen de octant waar alle x, y en z waarden postitief zijn,
en dat is ook diegene die ik heb getekend.
Dus laat eens kijken, waar raakt de lijn de x-as?
Wanneer de y en z 0 zijn, dus dan schrijven dat schrijven we hier,
dat is waar de lijn de x-as raakt.
2x staat gelijk aan 6, de x is gelijk aan 3.
dus 1, 2,3.
Dus dat is waar de lijn de x-as raakt.
De y-as wordt geraakt waar x en z gelijk zijn aan nul op de y-as,
dus y is gelijk aan 6.
dus we hebben, 1, 2, 3, 4, 5, 6 is waar de lijn de y as raakt.
en uiteindelijk waar de z-as geraakt wordt, als x en y 0 zijn
we zijn op de z-as
3z staat dan gelijk aan 6.
dus z is gelijk aan1, 2.
Dus het figuur wat ik wil maken zal er ongeveer zo uitzien.
het is een gehelde oppervlakte
het zal er ongeveer zo uitzien.
In deze postieve octant.
Dus dit is de opervalkte gedefinieerd door deze functie.
Laten we bepalen dat ik het volume wil weten, en ik ga
het een beetje ingewikkelder maken,
We kunnen bepalen, dat oh, dit was een volume tussen de
oppervlakte en het xy gebied.
Maar ik ga het een beetje ingewikkelder maken.
Laten we bepalen dat het volume boven deze gebied, en
oppervlakte z is gelijk aan 2.
Dus het volume wat we illen weten gaat er ongeveer
zo uit zien.
Even kijken of het me lukt om het te tekenen.
Als we hier twee naar boven gaan -- ik zal de bovenkant in een andere kleur
tekenen, ik teken de bovenkant groen.
Dus dit is langs het zy gebied.
En de andere kant ziet er
ongeveer zo uit.
Even kijken of het me wel lukt om het te tekenen -- Dit is het moeilijkste gedeelte.
We gaan hier 2 naar boven, dit is langs het zx gebied.
en we hebben een andere lijn die deze andere twee verbind.
Dus deze groen driehoek, dit is deel van het
gebied z staat gelijk aan 2.
De volume die we willen weten is de volume tussen deze groene bovenkant
en dit gehelde gebied gedefinieerd door 2x plus 3z
plus y staat gelijk aan 6.
Dus dit gebied daartussen.
Kijken of ik het een beetje duidelijker kan maken.
Want het zichtbaar maken, zoals ik het noem, is vaak het moeilijkste gedeelte.
Dus we hebben een soort van voormuur hier, en dan de achter-
-muur is deze muur hierachter, en dan is er
nog een andere muur hier.
En de fundering van het figuur, de fundering doe ik in magenta
dat is dit gebied.
Dus de fundering dat is dit gebied -- dat is het onderste gedeelte.
in ieder geval, ik weet niet of ik het zo rommeling had moeten maken.
want we moeter er nog dv's en d volumes op tekenen.
Maar in iedergeval, gaan we ons best doen.
Dus, als als we het volume willen berekend, maar eigenlijk
omdat we het het met een drievoudige intergaal doen, willen we laten zien
dat we het daadwerklijk met een drievoudige ingegraal te maken hebben, dus in plaats
van volume, laten we de *** berekenen van iet met een variable dichtheid.
Dus, laten we stellen dat de dichtheid bij het volume wat willen weten,
een functie is van x, y en z.
het kan van alles zijn.
Het is niet belangrijk in wat ik jullie hier probeer te leren.
Maar ik definieer wel iets.
Laten we stellen dat het x in het kwadraat yz is.
onze focus ligt echt bij het bepalen van de integralen.
Dus het eerst wat ik wil doen is laten zien -- wat we
gaan doen is, we plaatsen een kleine kubus in het
volume ter evaluatie.
Is als ik een -- ik doe het in een bonte kleur zo dat je het goed kunt
zien -- Dus als ik kubus heb -- misschien moet ik het bruin doen,
het is echt bont, maar is het verschillen genoeg van
de andere kleuren
Dus stel dat ik hier een kleine kubus heb in het figuur onder
Evaluatie, dat is een kleine kubus - beschouw dat als dv.
Het volume van de kubus is een soort volume defferentiaal.
en dat staat gelijk aan dx -- nee, sorry, dit is dy.
Ik zal dit in geel tekenen, of groen beter zelfs.
Dus Dy, dat is deze.
dy maal dx, dx maal dz.
Dat is het volume van deze kleine kubus.
en als we willen wat de mass van die kubus is, zoude we
de dichtheidfunctie moeten vermenigvuldigen met deze dv.
Dus de ***, zou je d noemen -- of dm.
De *** deferentiaal is gelijk aan dat vermenigvuldigd met dat.
dus x in het kwadraat y z maal dit.
dy, dx en dz.
en normaal veranderen we deze volgorde, afhankelijk van wat
we gaan we eerst gaan integreren, zodat we
niet in de war raken.
Dus laten we het proberen.
Laten we proberen deze integraal op te zetten.
Dus, laten we het op de traditionele manier doen.
Het laatste paar drievoudige integralen die we hebben gedaan, intergreeden we
z eerst.
Dus laten we dat doen.
Dus we gaan integreren met z als eerste, dus
we nemen deze kubus en we gaan alle
kubussen van z-as opsommen.
dus we gaan boven en onderen eerst doen, toch?
Dus als we het zo doen, wat is de onderste grens?
Als je boven en beneden bij elkaar opteld, verworden deze kubussen tot
kolommen, toch?
Dus wa tot de onderkant van deze kolom, de ondergrens.
Wat is de oppervlakte?
Het is de oppervlakt zoals het hier gedefinieerd is.
Dus, als we de ondergrens willen definieren in termen van
z, moeten we dit oplossen in termen van z.
Dus laten het van elkaar aftrekken.
dus dat is het antwoord.
Als we het willen definieren in termven van z. krijgen we: 3z staat
gelijk aan 6 min 2x min y.
of z staat gelijk aan 2 min 2/3x min y boven 3.
Dit is het zelfde ding als dat.
Maar als we het over z hebben, expliciet een z definieren,
Dan krijgen we het op deze manier, algebraisch gemanipuleerd.
Dus dit is de ondergrens -- en je kunt het zichtbaar maken, toch?
De onderkant van deze kolommen gaan naar boven en beneden.
We gaan als kollumen naar boven optellen en
naar beneden, ok?
Je kunt ze in gedachten bij elkaar optellen.
De ondergrens is dit gebied.
z staat gelijk aan 2 min 2/3e x min y boven 3.
Dus van is de bovengrens?
Nou, de top van het kolom is dit groene
gebied en wat zeiden we ook alweer dat dit groen gebied was?
is was z staat gelijk aan 2.
Dat is dit gebied, deze oppervlak hier.
Z staat gelijk aan 2.
En natuurlijk, wat is de het volume van die kolom?
Nou, het is de dichtheidsfunctie, x in het kwadraat yz
maal de volume differentiaal, maar we integreren
z eerst.
Dus is noteer hier dz.
Ik weet niet, stel we willen eerste integreren,..
Ik weet niet, we willen als eerste integreren...
de x richting.
In de laaste paar videos, integreerde ik
de y richting als tweede,
maar laten we nu eens x doen om te laten zien dat de volgorde niets uit maakt.
Dus we gaat eerst de x richting integreren.
Dus, nu hebben we die kolommen, toch?
Wanneer we de z richting integreren, nemen we het volume van elke
kolom waar de boven de grens dat gebied is.
Even kijken of ik dat een beetje redelijk kan tekenen.
De boven grens is dat gebied.
De ondergren is deze overvlakte.
Wat we nu willen is integreren in de x richting.
dus we gaan all dx's bij elkaar optellen.
Dus, wat is de ondergrens voor de x's
nou, deze oppervlak is al helemaal gedefinieerd -- het volume
wat gevraagd wordt, is gedefinieerd in zijn geheel tot x gelijk staat aan 0.
Als je nu in de war raakt, en dat is niet zo raar,
Het is verwarren als je deze driedimentiale dingen probeerd voor te stellen,
Hey weet je, we hebben al geintegreerd in de z richting.
De twee variablen die nog onbekend zijn, zijn x en y.
Ik zal een projectie tekenen van onze volumes binnen in het xy gebied.
en hoe ziet het er uit?
Dus dat zal ik doen.
Want het maakt dingen echt gemakkelijker.
Dus als we het omdraaien, als we deze y nemen en op deze manier
omdraaien, en de x op die manier, komen we er op de traditionele manier achter
Zoals we hebben geleerd toen we onze eerste lessen algebra kregen.
De xy-as
Dus dit x en dit y.
En wat dit punt?
Of dit punt?
Wat is deze?
Dat is x staat gelijk aan 3.
Dus het is 1, 2,3.
Dat is x staat gelijk aan 3.
en dit punt hier is y staat gelijk aan 6.
dus 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Dus op de xy, ongeveer op het domein -- je kunt het zien als
-- het ziet het ongeveer zo uit.
Dus één manier om het te beschouwen is, we hebben uitgevonden of deze
kolommen -- die hebben gebruikt bij het integreren in de z- richting.
Maar als je er recht naar in beneden er boven op kijkt.
kijk je op het xy gebied en elk van onze kolommen zal
er zo uit zien waar de kolommen
uit je beeldscherm schieten in de z richting
Maar de fundering van elke colom gaat richting dx op die manier, en
dan is dy naar boven en beneden, ok?
Dus we hebben belosen op te integreren de x kant op.
Dus gaan alle kolommen bij elkaar optellen in de
x kant, dus de horizontale kant op.
Dus de vraag was: wat is de ondergrens?
Wat is laage grens in de x richting?
Nou, het is x staat gelijk aan 0.
Als er hier een lijn was, dan zou die lijn waarschijnlijk
als een functie van y gelden, of zeker als een functie van y.
Dus de ondergens hier is x staat gelijk aan 0.
Wat is onze bovengrens?
I besef ik aan het pushen ben.
Nou, onze bovengrens is deze relatie, maar het moet
in termen van x gegeven worden, toch?
Dus wat is deze relatie?
nou, je zou het kunnen ziet als: z is gelijk
aan 0, wat is deze lijn?
Wat is deze lijn hier?
Dus z staat gelijk aan 0.
We hebben 2x plus y staat gelijk 6.
We willen de relatie in termen van x.
dus dan krijgen we 2x staat gelijk aan 6 min y waar x gelijk is
aan 3 min y boven 2.
En uiteindelijk gaan we integreren richting y.
en dit is het gemakkelijke gedeelte.
Dus we hebben naar boven en onder geintegreerd om een kolom te krijgen.
Dit is de fundering van de kolom, dus we heb geintergreerd
in de x richting.
nu moeten we alleen naar boven en naar onderen richting y, of in
het xy gebied, de y richting in/
Dus wat is de y ondergrens?
Nou, het is 0.
y staat gelijk aan 0.
en de bovengrens is y staat gelijk aan 6.
en daar heb je het.
We hebben de integraal opgezet en nu is het gewoon een kwest
van het mechanisch doorwerken.
Maar ik heb geen tijd meer en ik wil niet dat deze
video wordt afgewezen.
Dus ik laat het hierbij.
tot in de volgende video.