Tip:
Highlight text to annotate it
X
De vierde dimensie
Mijn naam is Ludwig Schläfli,
ik ben een Zwitserse meetkundige.
Ik heb geleefd in de negentiende eeuw
en ik ga voor U de deur openen naar de vierde dimensie !
Zonder valse bescheidenheid : ik ben visionair.
Ik ben een van de eersten die beseft heeft dat
ruimtes met een groot aantal dimensies
wel degelijk bestaan
en dat men er de meetkunde van kan bestuderen.
Platte wezens die in een vlak leven
kunnen het bestaan begrijpen van driedimensionale polyeders.
Waarom zouden wij dan niet de polyeders van dimensie 4 kunnen begrijpen ?
Een van mijn belangrijkste bijdragen
was het beschrijven van alle regelmatige polyeders van dimensie 4.
Wat is de vierde dimensie ?
Er is al veel over geschreven,
sciencefiction schrijvers gebruiken ze naar hartenlust !
Ik ga zaken uitleggen op het bord.
U zal zien dat het bord wat magisch is.
Bereid U voor om afstand te nemen van de wereld
waaraan we gewoon zijn
en beeld U een wereld in
waartoe onze ogen en zintuigen niet rechtstreeks toegang hebben.
We gaan slim moeten zijn, zoals de reptielen.
Ik ga op een verhoog staan
dat U spijtig genoeg niet kan zien,
en ik ga proberen om U te beschrijven wat ik zie.
Maar eerst trek ik een rechte lijn op het bord.
Ik zet er een oorsprong op.
Elk punt op deze lijn kunnen we vinden
door zijn afstand tot de oorsprong
met een minteken als het er links van ligt
en een plusteken als het aan de rechterkant ligt .
Men schrijft dit getal gewoonlijk als x
en noemt het de abscis.
Aangezien de plaats van een punt op een rechte lijn
beschreven wordt door één enkel getal
zegt men dat de rechte lijn dimensie 1 heeft.
Ik teken nu een tweede as,
loodrecht op de eerste.
Elk punt op het bord
wordt nu perfect beschreven door twee getallen
die traditioneel als x en y geschreven worden : abscis en ordinaat .
Het vlak heeft dimensie 2.
Als je aan een wezen dat op een rechte woont
moet uitleggen wat een punt is op een vlak
dan kan U simpelweg zeggen :
« een punt op een vlak dat zijn twee gegeven getallen »
Nu gaan we naar de derde dimensie.
Het krijtje tekent in de ruimte
en schetst een derde as, loodrecht op de twee andere.
Een punt in de ruimte wordt beschreven door drie getallen
x, y en z.
Tegen de reptielen die nieuwsgierig zijn
over onze wereld kunnen we zeggen :
« een punt is de ruimte, dat zijn drie gegeven getallen »
En nu naar de vierde dimensie.
We kunnen proberen om een vierde as te tekenen
loodrecht op de andere, maar dat is onmogelijk !
We moeten dat anders aanpakken.
We kunnen natuurlijk simpelweg zeggen
dat een punt in 4 dimensies
simpelweg 4 gegeven getallen x,y,z,t is.
Dat brengt ons niet veel verder !
Toch gaan we proberen om een gevoel
te krijgen voor die meetkunde.
Een eerste manier om dit te begrijpen
is door analogie.
Hier is een lijnstuk
..en nu een gelijkzijdige driehoek..
en tenslotte een regelmatig viervlak.
Met ons magisch bord kunnen we in de ruimte tekenen.
Hoe zetten we die serie voort in dimensie 4?
We merken op dat het lijnstuk, de driehoek en de tetraëder
respectievelijk 2, 3 en 4 hoekpunten hebben.
We kunnen dus proberen met 5 hoekpunten !
We proberen dat.
In het lijnstuk, de driehoek en de tetraëder
zijn de hoekpunten verbonden met ribben .
We moeten dus de vijf hoekpunten verbinden.
We tellen..
een ribbe
twee,..drie, vier, 5, 6, 7, 8 9, ..10 ribben.
In de tetraëder is er een driehoekige zijde
voor elke drie hoekpunten.
We gaan op dezelfde manier te werk
en dat geeft ons 1 driehoekige zijde
twee, drie ,…,10 zijden.
Maar als we naar analogie verdergaan
dan moeten we ook een zijde met tetraëder vorm
vinden voor elke vier hoekpunten.
We tellen er 5.
Ziedaar ons vierdimensionaal voorwerp ;
We noemen het « simplex »
en we laten het draaien in de ruimte
zoals we de tetraëder hebben laten draaien.
We moeten ons natuurlijk wel voorstellen
dat de simplex in een vierdimensionale ruimte draait
en dat wat U op het bord ziet een projectie is .
Wat de zaken wat moeilijk maakt
is dat de zijvlakken door elkaar gaan en zich kruisen.
Wel, men heeft wat ervaring nodig om in 4 dimensies te kijken.
Eerst kunnen we de simplex nemen
die in de vierde dimensie zit
en hem verplaatsen zodat hij
geleidelijk onze ruimte van drie dimensies doorsnijdt.
Zoals de reptielen een veelhoek zagen
die verscheen en terug verdween
zullen wij een polyeder van drie dimensies zien
die verschijnt, zich vervormt, en terug verdwijnt.
De simplex heeft onze driedimensionale ruimte doorkruist.
We gaan vanaf nu kennis maken
met andere polyeders uit de vierde dimensie.
die door onze driedimensionale ruimte vliegen.
Hier is de hyperkubus, die volgt uit de analogie
die begint met het lijnstuk, het vierkant en de kubus.
Het moet gezegd worden, met de methode van de snede
die we gebruikt hebben is het moeilijk om zich het voorwerp voor te stellen.
Ik heb de analogen van de icosaëder en de dodecaëder ontdekt.
Ze hebben moeilijke namen
maar ik noem ze de 120 en de 600
want de eerste heeft 120 zijden en de tweede 600.
Hier is de 120, nog altijd terwijl hij onze ruimte doorkruist.
En hier is de 600.
Als ik zeg dat een polyeder van 4 dimensies 600 zijden heeft
dan spreek ik natuurlijk over zijden met drie dimensies .
Die 600 zijden zijn allemaal tetraëders.
De 120 bestaat uit 120 dodecaëders !
We gaan ze later beter leren kennen.
Om vierdimensionale voorwerpen te bekijken
met onze driedimensionale ogen
kunnen we hun schaduwen gebruiken.
De voorwerpen zitten in de vierde dimensie
en we projecteren ze op onze ruimte van drie dimensies
net zoals een kunstenaar een landschap op zijn doek projecteert.
Met de simplex hebben we dat al gedaan.
Hier is de hyperkubus.
Hij draait in de ruimte
zodat we er de details kunnen van zien.
Zo ziet U bijvoorbeeld dat de hyperkubus 16 hoekpunten heeft .
Nog een klein nieuw voorwerp..
Mijn mooiste ontdekking.
Een voorwerp dat ik de 24 zal noemen
en die geen enkele analogie heeft in drie dimensies.
Een zuiver vierdimensionaal schepsel.
Op die ontdekking ben ik heel fier !
Bewonder de 24 hoekpunten, 96 ribben, 96 driehoeken en 24 octaëders.
Een wonder !
Hier is de schaduw van de 120
in al zijn majesteit.
Een ingewikkelde majesteit weliswaar !
We gaan naar de binnenkant en bekijken de structuur.
Bewonder de 600 hoekpunten en 1200 ribben.
Vanuit elk hoekpunt vertrekken 4 ribben.
Een structuur die volledig regelmatig is.
Al de hoekpunten en al de ribben spelen dezelfde rol.
De regelmatigheid van het voorwerp wordt wat verstoord door de projectie.
Doe een inspanning
om U dit object voor te stellen in 4 dimensies
waar een enorm aantal rotaties
alle hoekpunten en ribben van plaats verwisselt.
Hier is de 600, de kampioen.
Een reusachtige macromolecule
met 720 ribben en 120 hoekpunten.
12 ribben vanuit elk hoekpunt.
Maar ons avontuur met de vierdimensionale
polyeders eindigt hier niet
want we wedden dat de stereografische projectie
er ons nog een veel beter gevoel voor geeft.