Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
Na de laatste video, ben je hopelijk meer
vertrouwd geraakt met het optellen van matrices.
Nu gaan we leren hoe je matrices vermenigvuldigd.
En onthoudt dat de regels voor matrix vermenigvuldiging
door mensen zijn afgesproken.
We hadden het op totaal verschillende manieren
kunnen vermenigvuldigen.
Maar dit is de manier waarop het je zal helpen
tijdens de wiskundeles.
En we zullen later zien dat er eigenlijk heel veel
toepassingen zijn voor dit type
matrix vermenigvuldiging.
Ik schrijf twee matrices op.
Twee 2 bij 2 matrices, die we gaan vermenigvuldigen.
Ik neem willekeurige getallen: 2,
min 3, 7 en 5.
En ik ga die matrix, of die tabel met getallen vermenigvuldigen
maal 10, min 8, even een goed getal kiezen
12, en dan min 2.
Dus nu is er misschien een sterke verleiding te zijn
en niet eens zo'n onterechte verleiding
om op dezelfde manier te vermenigvuldigen
als met optellen, dus alleen de overeenkomstige
elementen vermenigvuldigen
Element 1,1 in de eerste rij en
eerste kolom, wordt dan 2 maal 10.
En dit element wordt min 3 keer
min 8, enzovoort...
Dat is hoe we matrices optellen dus misschien is het logisch
dat matrix vermenigvuldiging op dezelfde manier gaat.
En dat is legitiem.
Maar dat is niet de manier waarop het gebeurt
in de echte wereld.
En de manier waarop het in de echte wereld gebeurt,
is helaas veel complexer.
Maar nadat je een paar voorbeelden hebt gezien
denk ik dat je het zal begrijpen.
En je zult er achter komen dat het eigenlijk vrij
simpel is.
Dus, hoe vermenigvuldigen we matrices?
Dit eerste element in de eerste rij en eerste
kolom is gelijk aan de eerste rij van de
matrix, de eerste rij vector -
keer deze kolom vector.
Daar bedoel ik mee
Dit element bevat informatie uit de eerste
rij van de eerste matrix, en informatie van
de eerste kolom van de tweede matrix.
Hoe doe ik dat?
Als je bekend bent met het scalaire product, het is in wezen de
het scalaire product van deze twee matrices.
Of simpel gezegd, het is gewoon dit: het is twee
maal 10, dus 2 (Ik ga klein schrijven) maal 10, plus
min 3 keer 12.
Ik kom ruimte te kort.
En wat wordt het tweede element?
Nou, dit is nog steeds de eerste rij van de product vector, maar
nu zijn we op de tweede kolom.
We krijgen onze kolom informatie hier vandaan.
Dus laten we een goede kleur te kiezen - een iets andere
kleur paars.
Dit wordt nu
2 keer min 8, laat me het getal uitschrijven
2 keer min 8 is min 16, plus min 3 maal min 2
wat is min 3 keer min 2?
Dat is plus 6, toch?
Dus dat is in rij 1 kolom 2.
Het is min 16 plus 6.
En dan nu deze elementen
Nu zijn we in de tweede rij.
Dus nu gaan we de tweede rij gebruiken
van de eerste matrix, ik weet dat dit
verwarrend is en ik voel met je mee, maar
Na een paar voorbeelden wordt het vanzelf duidelijk.
Dit element (linksonder) gaat deze rij worden
keer deze kolom.
Dus dat wordt 7 maal 10, is 70,
plus 5 maal 12, is 70 plus 60.
Het element rechtsonder wordt zeven keer min
8, dat is min 56, plus 5 maal minus 2.
Dus dat is min 10.
Dus het uiteindelijke product zal worden 2 maal 10 is 20, verminderd met
36, en min 16 plus 6, dat is min 10.
90, was dat wat ik zei?
Oh nee, het was 70, plus 60, dat is 130.
En dan min 56 min 10, zo min 66.
Dit is de product matrix.
We hebben net deze matrix met deze matrix vermenigvuldigd.
Ik geef een ander voorbeeld.
En ik neem even meer ruimte
Zodat ik het netter uit kan schrijven.
We nemen de matrix 1, 2, 3, 4, maal de
matrix 5, 6, 7, 8.
Nu hebben we veel meer ruimte om mee te werken
dus dit zou er netter uit moeten zien
Ik ga hetzelfde te doen,
Het element in de linkerbovenhoek
We nemen van rij 1 en kolom 1
de informatie van rij 1 hier, en de informatie van
kolom 1 hier.
Oftewel deze rij vector
keer deze kolom vector.
Het resultaat is 1 keer 5 plus 2 keer 7.
.
Toch?
Zo.
Dit element wordt deze rij vector maal
deze kolomvector (laat ik dat in een andere kleur doen)
1 keer 6 plus 2 keer 8.
Dat schrijf ik op.
Dus het is 1 keer 6 plus 2 keer 8.
.
Nu gaan we naar beneden naar de tweede rij.
Onze rij informatie komt van de eerste vector
omcirkelt met deze kleur, en dat is 3 keer 5
plus 4 keer 7.
.
En dan zijn we in de rechterbenedenhoek, dus de onderste
oftwel tweede rij en de tweede kolom.
Dus we krijgen onze rij informatie hier vandaan en onze kolom
informatie hier vandaan.
Dus dat is 3 keer 6 plus 4 keer 8.
.
En als we dat vereenvoudigen, dat is 5 plus...
Wacht laat me je eerst laten zien waar alle
getallen vandaan kwamen.
Dus hebben we deze groene kleur
1 en 2, dat is deze 1 en deze 2,
deze 1 en deze 2.
Toch?
En merk op, deze zitten in de eerste rij hier en ook in de
eerste rij hier.
En deze 5 en 7?
Nou, dat is deze 5 en deze 7, en deze 5 en deze 7.
Dat is interessant.
Dit was in kolom 1 van de tweede matrix en dit is ook in
kolom 1 van de product matrix.
En op dezelfde wijze de 6 en de 8.
Dat is deze 6, deze 8
.
En dan tot slot deze 3 en de 4 met bruin, dus dat is
deze 3, deze 4, en deze drie en deze 4.
En we kunnen het natuurlijk vereenvoudigen
1 keer 5 plus 2 keer 7, dus dat is 5 plus 14,
Oftwel 19.
Dit is 1 keer 6 plus 2 keer 8, dus het is 6 plus
16, dus dat is 22.
Dit is 3 keer 5 plus 4 keer 7.
Dus 15 plus 28, 38, 43 (als mijn berekening klopt) en dan
3 keer 6 plus 4 keer 8.
Dus dat is 18 plus 32, dat is opgeteld 50.
Nu vraag ik je, wacht eerst
zal ik de product matrix netjes opschrijven
19, 22, 43, en 50.
Dus laat me je een vraag stellen.
Toen we matrices optelden
maakte het niet uit welke volgorde we ze optellen
Dus als we zeiden, A plus B - en dit zijn matrices,
(Ik maak ze allemaal dikgedrukt ) is het hetzelfde als
B plus A, volgens de regels van het optellen
van matrices.
Nu is mijn vraag
Geldt dat ook voor het vermenigvuldiging van twee matrices, is AB (dat betekent gewoon dat
we A en B vermenigvuldigen) is dat hetzelfde als BA?
.
Maakt het uit?
Maakt de volgorde bij matrix vermenigvuldiging uit?
Ik zal het je vertellen, het maakt
ontzettend veel uit.
Er zijn zelfs bepaalde matrices die je in een volgorde wel
maar niet in de andere volgorde kunt optellen, oh!
sorry ik bedoel
vermenigvuldigen.
Ik zal je dat met een voorbeeld laten zien
Maar eerst laat ik zien dat de volgorde uit maakt voor de uitkomst
Ik raad je aan deze twee matrices in
een andere volgorde te vermenigvuldigen.
Nou laat ik dat nu even doen.
Laat mij dat even snel doen om te laten
zien dat de volgorde ontzettend veel uitmaakt.
Ik haal alles hierboven weg.
.
Ik verwijder alles.
Je weet dat als ik deze matrices vermenigvuldigen
dan kreeg ik dit.
En dan nu snel in de andere volgorde
zodat het niet saai wordt...
.
Dus ik ga
de matrix: 5, 6, 7, 8, vermenigvuldigen met deze matrix:
We draaien de volgorde om, om te testen of
de volgorde uit maakt - 1, 2, 3, 4.
Laten we het doen,voor het gemak in dezelfde kleur,
Ik ga systematisch te werk.
Ik denk dat je gewoon een heleboel voorbeelden moet hebben gezien
Het eerste element krijgt de rij informatie van de eerste matrix
en de kolom informatie van de tweede matrix.
Dus het is 5 maal 1 plus 6 keer 3, dus het is 5 keer 1 -
Ik schrijf het gewoon op
En ik sla nu een stap over, OK dus 5 maal 1
plus 6 keer 3, plus 18.
Wat is het tweede element?
Het is 5 maal 2 plus 6 keer 4.
Dus 5 keer 2 is 10, plus 6 keer 4 is 24.
We namen deze rij keer deze
kolom hier.
Vervolgens
voor dit element hier linksonder
gebruiken we deze rij en deze kolom.
Dus het is 7 keer 1 plus 8 maal 3.
8 keer 3 is 24.
Tot slot om dit element te krijgen
vermenigvuldigen we deze rij met deze column, dus het is 7 keer 2
is 14, plus 8 maal 4, plus 32.
Dus dit is gelijk aan 5 plus 18 is 23, 34.
Wat is zeven plus 24?
Dat is 31, 46.
Zoals je ziet, we noemden dit matrix A en deze
matrix B, toch?
In het laatste voorbeeld hebben we laten zien dat A maal B is gelijk aan 19,
22, 43, 50.
En nu laten we zien dat het product van B maal A
eigenlijk een totaal andere matrix is.
Dus de volgorde waarin je vermenigvuldigt
maak ontzettend veel uit voor de uitkomst.
Ik heb eigenlijk geen tijd meer over.
Dus in de volgende video zal ik verder praten over
verschillende matrix soorten, we weten nu dat de volgorde er toe doet
en in de volgende video zal ik laten zien welke matrices
kunnen worden vermenigvuldigd met elkaar.
Wanneer we matrices optellen of aftrekken is het belangrijk
dat ze dezelfde afmetingen hebben,
omdat je overeenkomstige elementen optelt of aftrekt. Maar
met vermenigvuldiging is dat een beetje anders.
En dat laat ik zien in de volgende video.
Tot ziens.
.