Tip:
Highlight text to annotate it
X
JAMES GRIME: Vandaag gaan we het hebben over een van de vragen
die we erg vaak op de redactie van Numberphile binnenkrijgen.
En die vraag is... Nou, Brady, wat is die vraag?
BRADY HARAN: De vraag is: Waarom is 0-faculteit gelijk aan 1?
JAMES GRIME: Klopt.
Waarom is 0-faculteit gelijk aan 1?
Oké, laten we beginnen met een snelle herhaling van wat
'faculteit' betekent in de wiskunde.
Voor een geheel getal, laten we een getal n kiezen...
n-faculteit, dat zo geschreven wordt: een n met een
uitroepteken.
Dit is gelijk aan...
Je vermenigvuldigt alle gehele getallen, die kleiner
of gelijk zijn aan n, met elkaar.
Dus n vermenigvuldigd met n-min-1, vermenigvuldigd met n-min-2,
vermenigvuldigd met...
en zo ga je door, totdat je komt bij 3 vermenigvuldigd
met 2, vermenigvuldigd met 1.
Een snel voorbeeld.
Laten we 5-faculteit nemen.
5 maal 4, maal 3, maal 2 maal 1.
En dat reken je uit.
Dat is 120.
Oké.
De vraag die we vaak krijgen, is: hoeveel is 0-faculteit?
De manier waarop je deze vraag kunt beantwoorden
- een van de manieren - is het patroon voortzetten.
Laten we het patroon voortzetten.
Met name dit patroon: 4-faculteit is gelijk aan
5-faculteit gedeeld door 5.
Je kunt zien dat, als ik 5-faculteit neem en deel door 5,
dat dat betekent dat ik de 5 gewoon weg kan denken, zodat
4-faculteit over blijft.
Dus, 5-faculteit gedeeld door 5, of 120 gedeeld
door 5, dat is 24.
Dat is 4-faculteit.
3-faculteit wordt dan 4-faculteit gedeeld door 4.
Ofwel 24 gedeeld door 4.
Dat is 6.
Dat is het antwoord op 3-faculteit.
2-faculteit, 3-faculteit gedeeld door 3: 6, zojuist uitgerekend,
gedeeld door 3 is gelijk aan 2.
1-faculteit.
We doen het nog een keer.
Dat is 2-faculteit gedeeld door 2.
2-faculteit, dat is 2, gedeeld door 2,
ofwel 2 gedeeld door 2.
Dat is gelijk aan 1.
Maar nu wordt het pas echt spannend.
Voel je wat ons te wachten staat?
0-faculteit dus.
We gaan het patroon voortzetten.
0-faculteit is 1-faculteit gedeeld door 1.
1-faculteit is 1.
Het is dus 1 gedeeld door 1, en dat is gelijk aan 1.
Dus 0-faculteit is gelijk aan 1.
Je zet het patroon voort.
BRADY HARAN: Wie zegt dat het patroon voortgezet moet worden?
Waar komt die regel vandaan?
JAMES GRIME: Ik denk dat het niet per se een patroon hóéft te zijn
dat voortgezet wordt.
Maar het is nu eenmaal een patroon dat voortgezet wordt.
Laat me het op een andere manier proberen uit te leggen.
BRADY HARAN: Laat mij eerst dat patroon nog verder voortzetten.
Betekent dat dan ook, dat min-1-faculteit het volgende
getal in die serie is?
JAMES GRIME: Laten we kijken wat er gebeurt.
Ik weet niet zeker wat er gaat gebeuren.
Laten we het proberen.
Min-1-faculteit.
Wat zal ik eruit krijgen?
0-faculteit gedeeld door 0.
1 gedeeld door 0.
BRADY HARAN: Oh, delen door 0.
JAMES GRIME: Je hebt de wiskunde kapot gemaakt, Brady.
Hou daarmee op.
Een andere manier om uit te leggen wat 0-faculteit zou kunnen zijn:
n-faculteit is het aantal manieren waarop je
n voorwerpen kunt rangschikken.
Laat me proberen je te laten zien wat ik bedoel.
Laten we een aantal voorwerpen nemen.
Ik zal mijn portemonnee pakken.
Ik neem er een paar munten uit.
Zie je?
Wie zegt dat je met wiskunde geen geld kunt verdienen?
Ik heb hier gewoon minstens 50 pence in mijn hand.
Laten we een zilvere munt en een 5-pence-stuk nemen.
Drie voorwerpen hier, en hoe- veel manieren om deze drie
voorwerpen te rangschikken?
Dat kan op zes manieren.
Dat is 3-faculteit.
Laten we ze alle drie uitproberen.
Dat is één, dat is twee, of we hadden deze hier kunnen doen...
Dat is drie, dit is vier.
Of we hadden deze kunnen...
Ik denk dat we deze nog niet als eerste hadden liggen.
Dus dit zouden vijf en zes zijn.
Als we er eentje wegnemen, houden we nog twee voorwerpen over.
Op hoeveel manieren kun je twee voorwerpen rangschikken?
Dit is één, dit is twee.
Neem er eentje weg.
Op hoeveel manieren kun je één voorwerp rangschikken?
Daar heb je het.
Er is één manier om dat te doen.
Eén manier om één voorwerp te rangschikken.
Nu nemen we ook het laatste muntje weg.
Hier wordt het dan een beetje filosofisch.
We hebben nul voorwerpen.
Op hoeveel manieren kun je nul voorwerpen rangschikken?
Dat kan op één manier.
Daar heb je het.
Wil je me het nog eens zien doen?
Daar heb je het.
Ietwat filosofisch, maar we gaan ervan uit dat er één manier is
om nul voorwerpen te rangschikken.
Dus ook hier zien we het patroon terug.
0-faculteit is gelijk aan 1.
Om nog wat dieper op de stof in te gaan,
als we het toch over faculteit hebben, laten we ze in een grafiek uitzetten.
Dus laten we hier 1, 2, 3, 4, 5 schrijven.
1-faculteit is 1, dus noemen we dat 1.
2-faculteit is 2, dus ongeveer hier.
3-faculteit is 6.
Geen idee.
Hier ongeveer.
4-faculteit is 24, dus dat wordt eigenlijk
redelijk hoog, hier zo.
En vervolgens gaat 5-faculteit helemaal de hoogte in.
Als we deze met elkaar verbinden, en ik heb ook gezegd dat
0-faculteit gelijk is aan 1, dus dan moet dit de grafiek zijn.
Dus theoretisch zouden we ook waardes moeten kunnen vinden
voor getallen tussen de gehelen, bijvoorbeeld anderhalf.
Anderhalf-faculteit.
Hoeveel is anderhalf-faculteit?
Wiskundigen hebben dat uitgezocht.
Ze veralgemeniseerden het idee.
En het idee van anderhalf-faculteit bestaat.
We noemen het gamma.
Dat is de Griekse letter gamma.
We noemen het gamma-van-n.
En de manier waarop we dat schrijven...
dit begint echt een beetje ingewikkelder te worden.
We zeggen dat gamma-van-n gelijk is aan de integraal tussen 0 en
oneindig van...
laten we bijvoorbeeld t nemen...
t tot de macht n-min-1, vermenigvuldigd met e
tot de macht min-n dn.
Sommigen van jullie zullen hiermee niet bekend zijn.
Sommigen van jullie zijn hier wel bekend mee.
Anderen niet.
Het is een veel ingewikkelder wiskundig idee, maar dit
komt overeen met de faculteiten.
Maar het geeft je ook waarden voor niet-gehele getallen.
De grafiek ziet er zo uit.
Ik moet nog iets zeggen.
Het is misschien wat onverwacht, maar als we een waarde voor
een geheel getal nemen, gamma- van-n, en n is een geheel getal,
dan komt hier n-min-1-faculteit uit. Dus wees daar voorzichtig mee.
Dat kan eventueel misleiden.
Een beetje vervelend.
Maar wat is het nut van een functie die je de faculteiten
van niet-gehele getallen geeft, als je anderhalf voorwerp
niet kunt rangschikken?
Het is dus een veralgemenisering, en het blijkt nogal handig
bij veel toepassingen.
Ik denk in het bijzonder aan probabiliteitsrekening.
Je kunt dit gebruiken in probabiliteitsformules
waarin het gaat om continuë tijd, in plaats van
om het rangschikken van een discreet aantal voorwerpen.
Je begint nu te denken aan ononderbroken evenementen.
Tijd is het beste voorbeeld.
Als je de ideeën begint te veralgemeniseren,
zul je een veralgemeniseerde faculteit nodig hebben.
BRADY HARAN: 9, 6, en 3.
20.
44.