Tip:
Highlight text to annotate it
X
MARK JAGO: We gaan het hebben over 4 paradoxen
met betrekking tot oneindig.
Als eerste hebben we het Hilbert Hotel.
Dit is een hotel met een oneindig aantal kamers.
En in iedere kamer bevindt zich een persoon.
Dus het hotel is vol, maar dan komt er een nieuwe
gast bij de receptie.
Je denkt dat hij weg gestuurd wordt, omdat
het hotel vol is.
Maar de manager is slim.
Dit is wat hij doet.
Hij stuurt de persoon uit kamer 1 naar kamer 2, de persoon uit
kamer 2 naar kamer 3, de persoon uit kamer 3 naar
kamer vier en zo voorts.
Iedereen ***1 kamer op.
En omdat er oneindig veel kamers zijn is er altijd
een kamer beschikbaar voor de volgende.
Als hij klaar is, is kamer 1 beschikbaar.
Daar kan de nieuwe gast dus in.
Je kut dus een nieuwe gast kwijt.
Of twee nieuwe gasten.
Of 10 nieuwe gasten.
En zelfs als er een bus met oneindig veel gasten komt
kun je ze allemaal kwijt.
Toen ik de inleiding voor het eerst hoorde
daht ik: Dat hotel is vol.
Daar kan niemand meer bij.
Zo gaat dat bij volle hotels.
Maar als ze je laten zien dat je net zo veel
mensen kunt toevoegen als je wilt, leer je iets nieuws
over oneindigheid.
Dus je intuitie veranderd.
De truck is dat in een oneindig hotel er geen
laatste kamer is.
Als er een laatste kamer was kon je ze tellen,
en was het niet oneindig.
Hij gebruikt dit idee om te laten zien dat oneindigheid,
filosofisch interessant is, omdat je denkt
dat dingen gaan zoals je denkt.
Maar dat doen ze niet en we kunnen
dat wiskundig bewijzen.
Paradox nummer 2 is de paradox van
Gabriels trompet.
We nemen een wiskundige vorm,
een wiskundig object.
Het heeft de vorm van een trompet.
Het begint hier en wordt steeds smaller
en smaller en smaller.
Het gaat oneindig door, smaller en smaller.
het gaat maar door.
Dit voorwerp heeft dus een oneindig oppervlak.
Maar de inhoud is dat niet, de lucht
in de trompet heeft een eindig volume.
Dus als je de binnenkant van de trompet
moet schilderen,
heb je aan de ene kant een
oneindig groot oppervlak.
Je hebt dus oneindig veel verf nodig.
Maar aan de andere kant, heb je maar een eindige hoeveelheid
verf nodig om de trompet helemaal
te vullen.
Het lijkt dus dat je met een eindige hoeveelheid
verf een oneindig oppervlak kunt schilderen.
Dat is heel, heel raar.
Als we aan echte verf denken kun je nooit het hele
oppervlak schilderen.
Het wordt daar zo dun dat je de verf
daar nooit kunt krijgen.
Het probleem ontstaat door het verschil
tussen het wiskundige idee van een oppervlak
en de fysische eigenschappen van verf
wat best een dik goedje is.
Als we wiskundige verf hadden, gemaakt van moleculen die geen
geen afmetingen hebben, heb je een eindige hoeveelheid
nodig om een oneindig oppervlak te bedekken.
Hij dacht dat er iets heel raars aan de hand was.
hij bedacht verschillende bewijzen van dit idee,
want hij dacht dat hij zich had vergist.
En vele wiskundigen dachten dat er
iets mis was met het begrip oneindigheid.
Misschien moesten we het maar verbannen.
Want dit soort puzzels kloppen niet.
Ze tonen aan dat er iets mis is met het begrip oneindigheid.
Dus misschien hoort het niet in de wiskunde.
Maar eigenlijk past het prima in de wiskunde.
Soms moeten we onze ideeen over de wereld aanpassen
om dingen passend te maken.
Nummer 2 is de puzzel van het dartbord.
We hebben een dartbord,
en we hebben een dart.
Die gooien we naar het bord.
Laten we er van uitgaan dat we het bord
100% zeker raken.
De vraag is nu: Denk aan het exacte midden van
de punt van de dart.
En denk aan een exact wiskundig punt
op het dartbord.
Wat is nu de kans dat
we precies dat punt raken?
Daar is geen zinnig antwoord op te geven.
Aan de ene kant is de kans dat we het raken
groter dan nul.
Dat is een probleem.
Als de kans groter dan 0 is,
geldt dat voor alle punten op het dartbord.
En daar zijn er oneindig veel van.
Er zijn oneindig veel
wiskunidige punten.
Als we al de kansen dat de pijl zo'n punt raakt
optellen dan komen we uit op een kans
die oneindig groot is.
Maar dat bestaat niet.
Je kunt geen kans hebben groter dan 1
dat er iets gebeurd.
Er is dus een probleem met de aanname
dat de kans op raken van zo'n punt groter dan 0 is.
Aan de andere kant, wat gebeurd er als de kans 0 is?
Dat is ook heel erg vreemd.
Want als die kans 0 is,
geldt dat voor alle punten.
Dus dan is de kans het bord te raken 0.
En dat gebeurd ook niet.
Want we hadden gezegd dat we
het bord zeker gingen raken.
Weer iets waarvan filosofen zeggen:
weg met oneindigheid.
Dus denken we niet aan het exacte midden van
de dart.
We denken aan een oppervlak--
Een echte dart heeft een oppervlak als punt.
Als we dan de kans nemen op het raken van een deel van
het dartbord, delen.
we deze op in eindig veel stukjes.
Dan is het probleem weg.
Als het oppervlak toeneemt, neemt de kans het
te raken toe.
Wordt het kleiner, dan neemt de
kans af.
BRADY HARAN: Het is dus het korrelige aspect
van dingen die ons uit de problemen houdt?
MARK JAGO: YJa, zo is het.
Dus als alles waar we aan denken een oppervlak is in plaats van
een exact punt, gaan de problemen weg.
Dat is niet heel tevredenstellend.
Een oppervlakte kan steeds kleiner worden
en dan naderen aan oneindigheid.
Is er geen netter antwoord voor dit
oneindigheidsvraagstuk?
Misschien bestaat dat niet.
Hier is de vierde paradox.
Misschien wel de meest interessante.
Want het gaat over wat rationele mensen zouden doen
bij het gokken.
Je gaat naar het casino en stopt een Pond in de pot.
Daarna toss je met een munt.
Staart en je wint de pot.
Kop en het casino verdubbelt de pot.
we spelen weer.
Staart en je wint de pot
Kop en het casino verdubbelt de pot.
en dan spelen we weer.
De vraag is nu hoeveel zou je betalen om
aan dit spel mee te mogen doen?
Zeg maar iets.
Je moet je inkopen.
Wat zou je betalen?
De meeste mensen denken even en zeggen dan:
Misschien een paar Pond?
Als je het wat breder hebt misschien 20 Pond.
De wiskundige theorie zegt echter:
Alles wat je bezit.
Betaal alles wat je hebt want de verwachtte
winst is oneindig.
Je neemt oneindig veel geld mee naar huis als je speelt.
Om dit te laten zien kijken we
naar alle potjes.
Als je meteen wint,
hoeveel win je dan?
Tel dit op bij als je de tweede ronde
pas wint?
En tel op bij als je de derde ronde wint.
En bij de vierde ronde.
We tellen alles op.
Maar omdat er geen eindpunt is bij dit spel,
gaat dit oneindig verder.
De verwachtingswaarde bij iedere ronde
van dit spel is 1/2.
Dus we tellen 1/2 bij 1/2 op
en dat oneindig vaak.
Daarom is de verwachtingswaarde
van dit spel ook oneindig.
BRADY HARAN: Maar we zetten toch niet ons huis in?
We vergokken niet alles.
MARK JAGO: Ik niet nee.
En ik denk jij ook niet.
En--
BRADY HARAN: Wat betekent dat?
MARK JAGO: Misschien iets heel interessants
over ons.
We vermijden meer risico
dan wiskundig aanwezig.
Mischien neemt de waarde van geld af
naar mate je meer verdient.
Misschien iets dat we nog niet weten
Iets dat ons rationeel maakt
en dat nog niet in de wiskunde zit.
BRADY HARAN: Je zegt dat mensen gek
als ze niet alles inzetten.
Maar als casino's dat spel zouden invoeren
zouden ze snel al onze huizen hebben.
MARK JAGO: Daar heb je een punt.
Om het wiskundig kloppend te maken moet het casino garanties bieden,
je moet van tevoren weten dat ze zoveel inzetten
als nodig.
Er moet dus een casino zijn met een
oneindige hoeveelheid geld.
En er is geen casino met
oneindig veel geld.
En als er na x trekkingen een einde aan de pot komt,
als alles wat het casino heeft er in zit,
Dan veranderen de berekeningen en wordt het
onverstandig om veel in te zetten.
Dit is de wiskundige theorie
achter rationele beslissingen.
De meeste theorieen lopen niet mis als je
oneindig introduceert.
Ze werken prima.
Dus waarom worden theorieen over ons
of hoe we redeneren zo raar als
we oneindig invullen?
Stel dat we alle natuurlijke getallen samen nemen.
Gee nvan hen zijn oneindig groot.
Ze zijn allemaal eindig.
Maar er zijn er oneindig veel van.
Dus als we ze moeten tellen
dan is dat oneindig veel werk.